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symmetrische_Gruppe
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symmetrische Gruppe

Definition symmetrische Gruppe


Universität

In der Halbgruppe $ (E(X), \circ) $ aller Abbildungen einer Menge $ X $ in sich (mit der Komposition von Abbildungen als Verknürpfung, $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $, ist $ Id_X $ neutrales Element und die bijektiven Abbildungen, also die Permutationen von $ X $, sind genau die invertierbaren Elemente in $ E(X) $. Also ist

$ E(X)^{\star} =S(X) = \{f:X \to X\, \vert \, f \ \mbox{bijektiv}\} $

zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.

Sie heißt die Gruppe der Permutationen von $ X $ oder die symmetrische Gruppe von $ X $.

Für den wichtigen Spezialfall $ X=\{1,2,\ldots,n\} $ setzen wir

$ S_n:= S(\{1,2,\ldots,n\}) $.

Die Elemente von $ S_n $ heißen Permutationen __vom Grad $ n $, sie werden häufig in der Form $ f = \pmat{ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ f(1) & f(2) & f(3) & \cdots & f(n)} \quad , \quad f \in S_n $ angegeben. Schreibt man $ f,\, g \in S_n $ in dieser Form, dann erhält man für das Produkt $ f \circ g $ $ \pmat{ 1 & 2 & \cdots & n \\ f(1) & f(2) & \cdots & f(n)} \pmat{ 1 & 2 & \cdots & n \\ g(1) & g(2) & \cdots & g(n)} = \pmat{1 & 2 & \cdots & n \\ f(g(1)) & f(g(2)) & \cdots & f(g(n))} $. Man fängt also die Auswertung beim rechten Faktor an, so wie es sich für ein Produkt von Abbildungen auch gehört. Beispiel $ \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 4 & 2 & 1 & 6} \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 3 & 4 & 2 & 1 & 5} = \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 5 & 3 & 1} $. Man geht nach dem Schema vor: $ 1 \to 6 \to 6 $, $ 2 \to 3 \to 4 $, $ 3 \to 4 \to 2 $, etc. ("$ 1 $ wird auf die $ 6 $ abgebildet, dann bleibt $ 6 $ fest, insgesamt $ 1 $ auf $ 6 $; $ 2 $ wird auf $ 3 $ abgebildet, dann $ 3 $ auf $ 4 $, insgesamt $ 2 $ auf $ 4 $, etc.") Das Inverse $ f^{-1} $ von $ f = \pmat{1 & 2 & \cdots & n \\ f(1) & f(2) & \cdots & f(n)} $ ist die Abbildung $ f(i) \mapsto i \quad (1 \le i \le n) $, d.h. wir vertauschen in $ f $ die Zeilen, erhalten $ \pmat{f(1) & f(2) & \cdots & f(n) \\ 1 & 2 & \cdots & n} $ und bringen dies in die richtige Reihenfolge, so dass wir in der oberen Zeile die natürliche Anordnung haben. Das Ergebnis ist $ f^{-1} $. Beispiel $ \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 3 & 4 & 2 & 1 & 5}^{-1} = \pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 3 & 6 & 1} $. Es gilt: $ |S_n|=n! $. __Beweis (Induktion): $ n=1 $ ist klar. Die Zahl $ n $ kann in der zweiten Zeile einer Permutation aus $ S_n $ an $ n $ verschiedenen Stellen vorkommen, nämlich unter $ 1,\, 2,\ldots, $ oder $ n $. Für jede dieser $ n $ Möglichkeiten können die restlichen $ n-1 $ Zahlen auf $ n-1 $ Stellen verteilt werden. Dafür gibt es nach Induktionsvoraussetzung $ (n-1)! $ Möglichkeiten. Insgesamt haben wir daher $ n(n-1)! = n! $ Möglichkeiten, die Zahlen $ 1,\, 2, \ldots,n $ in verschiedene Reihenfolgen zu bringen.

Fortsetzung folgt später...

Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Fr 12.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Fr 12.08.2005 um 10:33 von Stefan
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