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Halbgruppe
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Halbgruppe

Definition Halbgruppe

(enthalten: Definitionen für assoziative Halbgruppe, kommutative Halbgruppe, Halbgruppen-Homomorphismus, Unterhalbgruppe)


Schule


Universität

Es sei X eine nichtleere Menge. Eine innere Verknüpfung $ \circ :X \times X \to X $ heißt assoziativ, wenn

$ a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $

gilt für alle $ a,\, b,\, c \in X $.

Ein Paar $ (H,\circ) $, bestehend aus einer nichtleeren Menge H und einer assoziativen inneren Verknüpfung $ \circ $ auf H, heißt eine Halbgruppe.


Bemerkung

Folgende (und andere) Redewendungen sind üblich:

H zusammen mit $ \circ $ ist eine Halbgruppe, oder H ist bezüglich $ \circ $ eine Halbgruppe, oder $ \circ $ definiert auf H eine Halbgruppenstruktur, wenn gilt:

$ (H_1) $ $ H \ne \emptyset $,

$ (H_2) $ die Verknüpfung $ \circ: H \times H \to H $ ist assoziativ.


Beispiele

(1) $ (\IZ,+) $, $ (\IZ,\cdot) $ sind Halbgruppen.

(2) Für eine nichtleere Menge X sind $ (P(X),\cup) $, $ (P(X),\cap) $ Halbgruppen.

(3) Ist $ X \ne \emptyset $, dann ist $ E(X)=\{f\, \vert \, f:X \to X\} $ zusammen mit der Komposition von Abbildungen $ (f,g) \mapsto f \circ g $ eine Halbgruppe.


Definition (abelsche Halbgruppe)

Eine Halbgruppe $ (H,\cdot) $ heißt kommutativ oder abelsch, wenn $ a \circ b = b \circ a $ gilt für alle $ a,b \in H $.


Definition (Halbgruppen-Homomorphismus)

Sind $ (U, \circ) $ und $ (V,\star) $ Halbgruppen, dann ist $ f:U \to V $ ein Halbgruppen-Homomorphismus, wenn

$ f(a \circ b) = f(a) \star f(b) $

gilt für alle $ a,b \in U $.


Beispiel

Es ist für eine nichtleere Menge X

$ f: \begin{array}{ccc} (P(X),\cap) & \to & (P(X),\cup) \\[5pt] A & \mapsto & f(A):=X \setminus A \end{array} $

ein Halbgruppen-Homomorphismus.


Definition (Unterhalbgruppe)

Eine nichtleere Teilmenge $ U \subseteq H $ eine Halbgruppe $ (H,\cdot) $ heißt Unterhalbgruppe (von H), wenn für alle $ u,\, v \in U $ auch $ u \circ v $ in U liegt. Die Restriktion von $ \circ $ auf $ U \times U $ liefert dann eine innere Komposition auf U, diese ist assoziativ (denn $ \circ $ ist bereits assoziativ auf H), d.h. $ (U, \circ) $ ist eine Halbgruppe.


Beispiele

$ 2\IZ = \{2m\, \vert\, m \in \IZ\} $ ist eine Unterhalbgruppe von $ (\IZ,+) $.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Fr 29.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mi 10.08.2005 um 23:55 von Stefan
Weitere Autoren: Christian, Marc
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