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invertierbares_Element
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invertierbares Element

!!Definition ''invertierbares Element'


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Es sei $ (H, \circ) $ eine Halbgruppe mit neutralem Element $ e $.

Ein Element $ a \in H $ heißt linksinvertierbar (bzw. rechtsinvertierbar), wenn es ein $ b \in H $ gibt mit

$ b \circ a =e $  (bzw. $ a \circ b=e $).

Das Element $ b $ heißt ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von $ a $.

Ein Element aus $ H $ heißt __invertierbar __, wenn es sein Links- und ein Rechtsinverses besitzt.


Beispiele

1) In der Halbgruppe $ (E(X),\circ) $ aller Abbildungen von $ X $ in sich sind die linksinvertierbaren Elemente genau die injektiven Abbildungen und die rechtsinvertierbaren Elemente genau die surjektiven Abbildungen (und damit die invertierbaren Elemente genau die bijektiven Abbildungen).

Sei $ f:X \to X $ injektiv, dann prüft man sofort nach, dass $ g:X \to X $, definiert durch

$ g(y):= \left\{ \begin{array}{cccc} y & , & \mbox{\scriptsize falls} & y \in X \setminus f(X),\\[5pt] x & , & \mbox{\scriptsize falls} & y=f(x), \end{array} \right. $

ein Linksinverses von $ f $ ist. Besitzt umgekehrt $ f $ ein Linksinverses $ g $, $ g \circ f = Id_X $, dann folgt aus $ f(x) = f(y) $ durch Anwendung von $ g $

$ x = Id_X(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g \circ f)(y) = y $,

also ist $ f $ injektiv.

Nun sei $ f : X \to X $ surjektiv. Dann ist jede Urbildmenge

$ f^{-1}(\{x\}) = \{y \in X\, \vert\, f(y)=x\} $

nicht leer und wir können aus jeder dieser Mengen ein Element $ y=y(x) $ auswählen (Auswahlaxiom). Es definiert $ x \mapsto y(x) $ eine Abbildung, sie werde mit $ h $ bezeichnet, für die definitionsgemäß gilt:

$ (f \circ h)(x) = f(y(x)) = x $,

d.h. $ f \circ h= Id_X $.

Haben wir umgekehrt eine Abbildung $ h:X \to X $ mit $ f \circ h=Id_X $, dann gibt es zu jedem Element $ x \in X $ ein Element $ y \in X $, nämlich $ y=h(x) $, so dass gilt:

$ x=(f \circ h)(x) = f(y) $;

d.h. $ f $ ist surjektiv.

2) Wir wollen die invertierbaren Elemente in $ (\IZ_n,+) $ und $ (\IZ_n,\cdot) $ bestimmen:

Wegen

$ \overline{x} + \overline{-x} = \overline{x-x} = \overline{0} = \overline{-x} + \overline{x} $

ist in $ (\IZ_n,+) $ jedes Element invertierbar.

Nun sei $ x \in \IZ_n $ in $ (\IZ_n,\cdot) $ invertierbar, d.h. es gibt ein $ y \in \IZ $ mit

$ \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{xy} = \overline{1} \ (=\overline{y} \cdot \overline{x}) $.

Dies bedeutet:

$ xy-1 = nm $  für ein $ m \in \IZ $.

Also:

$ \overline{x} $ in $ (\IZ_n, \cdot) $ invertierbar

$ \Leftrightarrow $  Es gibt $ y,\, m \in \IZ $ mit $ 1=xy+nm $

$ \Leftrightarrow $  $ x $ und $ n $ sind teilerfremd.

(Die letzte Äquivalenz ist die Aussage das Lemmas von Bézout.)

Ist $ n=p $ eine Primzahl, so folgt insbesondere, dass jedes Element $ \ne \overline{0} $ in $ (\IZ_p,\cdot) $ invertierbar ist.


Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9

Erstellt: So 31.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 31.07.2005 um 21:30 von Stefan
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