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Gruppe_von_Permutationen
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Gruppe von Permutationen

Definition Gruppe von Permutationen


Universität

Ursprünglich fasste man Gruppentheorie auf als das Studium von nichtleeren Teilmengen $ U\subseteq S_n $ (siehe symmetrische Gruppe, für die mit je 2 Elementen $ f,\, g $ aus $ U $ auch $ f \circ g $ aus $ U $ ist. Da das Assoziativgesetz und die Kürzungsregeln gelten (sie gelten bereits in $ S_n $) handelt es sich bei diesen Mengen auch um Gruppen, sogenannte Gruppen von Permutationen (vom Grad $ n $).

Erst die abstrakte Axiomatisierung durch Cayley verhalf der Gruppentheorie zum entscheidenen Durchbruch. Dass aber durch die abstrakte Formulierung "eigentlich" nichts Neues gefunden wurde, word nun mittels des Isomorphiebegriffes geklärt:

Es sei $ G $ eine Gruppe. Für jedes $ g \in G $ definiert man $ L(g) \in S(G) $ durch

$ L(g)\, : \, x \mapsto gx $.

Das Assoziativgesetz, $ (ab)x=a(bx) $ für alle $ a,\, b,\, x \in G $, ist äquivalent zu

(*) $ L(ab) = L(a)L(b) $  für alle  $ a,\, b \in G $.

Sei $ L(G) = \{L(g)\, \vert\, g \in G\} $. (*) zeigt, dass $ L(G) $ eine Halbgruppe ist (eine Unterhalbgruppe von $ (S(G), \circ)) $. Ferner ist $ Id=L(e) \in L(G) $ und jede Permutation $ L(a) $ hat ein Inverses in $ L(G) $, nämlich $ L(a^{-1}) $. Damit ist $ L(G) $ eine Gruppe von Permutationen.

Betrachten wir nun die Abbildung

$ L\, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & L(G) \\[5pt] g & \mapsto & L(g) \end{array} $,

so zeigt (*) auch, dass dies ein Homomorphismus ist.

Sei $ g \in Kern(L) $, $ L(g)=Id $. Wenden wir beide Seiten dieser Gleichung auf das neutrale Element $ e $ an, so folgt $ g=e $. Also ist $ L $ auch injektiv. $ L $ ist damit ein Isomorphismus von $ G $ auf $ L(G) $. Wir haben bewiesen:

Satz (Cayley): Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen von G.


Insbesondere ist jede Gruppe der Ordnung $ n $ isomorph zu einer Gruppe von Permutationen vom Grad $ n $.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Mi 17.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mi 17.08.2005 um 10:11 von Stefan
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