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Konvergenzkriterium
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Konvergenzkriterium

Sätze Konvergenzkriterien für Reihen


Universität


Satz (Leibniz-Kriterium) Sei $ (a_n) $ eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen.
Dann ist die alternierende Reihe $ \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n=a_0-a_1+a_2-\ldots $ konvergent, und für ihre Summe gilt

$ s_{2k+1}\le \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n\le s_{2k} $,


wobei $ s_m=\summe_{n=0}^{m} (-1) a_n $, die m-te Partialsumme ist.
Insbesondere gilt die Fehlerabschätzung

$ \left|\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n-s_m\right|\le a_{m+1} $.

Quelle: (1)


Satz (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die Reihe $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $ \varepsilon>0 $ ein $ n_0\in\IN $ gibt mit $ \left|\summe_{k=m}^{n}a_k \right|\le \varepsilon $ für alle $ n\ge m\ge n_0 $.

Quelle: (1)


Satz (Majorantenkriterium) Es seien $ \summe b_k $ eine konvergente Reihe reeller Zahlen $ b_k\ge 0 $ und $ \summe a_k $ eine Reihe komplexer Zahlen.
Gilt $ |a_k|\le b_k $ für alle $ k\in\IN $, so konvergiert auch $ \summe a_k $, und zwar sogar absolut. Es gilt $ \left|\summe_{k=0}^{\infty} a_k\right|\le\summe_{k=0}^{\infty} b_k $.

Quelle: (1)


Satz (Quotientenkriterium) Es sei $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ eine Reihe komplexer Zahlen mit $ a_k\not=0 $ für fast alle $ k $. Ferner gebe es eine reelle Zahl $ q $ mit $ 0<q<1 $ und $ \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|\le q $ für fast alle $ k\in\IN $.
Dann ist die Reihe $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ absolut konvergent.
Insbesondere konvergiert $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ absolut, wenn die Folge der Quotienten $ \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| $ gegen eine Zahl $ <1 $ konvergiert.

Quelle: (1)


Satz (Wurzelkriterium) Es sei $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ eine Reihe komplexer Zahlen.
Gilt $ \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|a_n|} < 1 $ oder $ \wurzel[n]{|a_n|}< q $ für eine positive Zahl $ 0\le q<1 $ für fast alle Indizes $ n>n_0 $, so konvergiert die Reihe $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ und zwar sogar absolut.
Gilt $ \wurzel[n]{|a_n|}\ge 1 $ für unendlich viele $ n $, so ist die Reihe $ \summe_{k=0}^{\infty} a_k $ divergent.

Quelle: (2)


Satz (Abelsches Konvergenzkriterium)

Quelle: (1)


Satz (Dirichletsches Konvergenzkriterium)

Quelle: (1)


Satz (Kondensationskriterium)

Quelle: (1)


Satz (Konvergenzkriterium von Dubois-Reymond)

Quelle: (1)


Satz (Integralkriterium für Reihen) Sei $ f:\IR_+\to\IR $ eine monotone und stetige Funktion.
Genau dann konvergiert die Reihe $ \summe_{n=0}^{\infty} f(n) $, wenn das Integral $ \integral_0^{\infty} f(t)\text{dt} $ konvergiert.

Quelle: (1)


Quellen

(1) isbn3411032049
(2) Mathe-Online-Lexikon

Bemerkungen.

Weitere Bemerkungen zum Verständnis des Satzes.


Beispiele.


Beweis.


Erstellt: Mi 24.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 19.07.2011 um 15:20 von Nisse
Weitere Autoren: Loddar, rainerS
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