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Borel-Menge

Definition Borel-Menge/Borelsche Menge

Es sei

  • $ \mathcal{I}^n $ das System der halboffenen Intervalle im $ \IR^n $
  • $ \mathcal{B}^n $:=$ \sigma(\mathcal{I}^n) $ (die von $ \mathcal{I}^n $ erzeugte $\sigma$-Algebra  (diese wird $\sigma$-Algebra der Borelschen Mengen genannt)

Dann heißen die Elemente von $ \mathcal{B}^n $ Borelsche Mengen.

Weitere Eigenschaften:

  • Die $ \sigma $-Algebra $ \mathcal{B}^n $ wird nicht nur vom System der halboffenen Intervalle im $ \IR^n $ erzeugt (s.o.), sondern auch
    • vom System aller offenen Teilmengen von $ \IR^n $
    • vom System aller abgeschlossenen Teilmengen von $ \IR^n $
    • vom System aller kompakten Teilmengen von $ \IR^n $
  • Für jedes $ n\in\IN $ gilt: $ \mathcal{B}^n\not=\mathcal{P}(\IR^n) $, d.h. für jede Dimension n existieren nicht-Borelsche Teilmengen des $ \IR^n $

Literatur: isbn3110136252

Erstellt: Di 30.09.2008 von Marc
Letzte Änderung: Do 02.10.2008 um 13:42 von Marc
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