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| Aufgabe | Geben Sie eine Funktion [mm] f:\IR^+\to\IR^+ [/mm] an, sodass für die Nullstelle [mm] x^{\ast} [/mm] von $f$ gilt [mm] $x^{\ast}=\sqrt[n]{a}, \; \; [/mm] a>0$ und die Newton-Iteration nur die Grundoperationen (+,-,*,/) benötigt. Geben Sie die Newton Iteration [mm] x^{k+1}=\Phi(x^k) [/mm] zur Berechnugn von [mm] x^{\ast} [/mm] an.
Wie sieht die asymptotische Fehlerkonstante [mm] \rho [/mm] in diesem Fall aus und welche Eigenschaften der Iteration lässt sich in Abhängigkeit von a daraus ablesen. |
Hallo!
Als Funktion habe ich [mm] $f(x)=x^n-a$ [/mm] gewählt. Dann ist [mm] $f'(x)=nx^{n-1}$ [/mm] und somit ergibt sich als Newton-Iterierte: [mm] $\Phi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}=x-\frac{x^n-a}{nx^{n-1}}$
[/mm]
Die Fehlerkonstante ist definiert über [mm] $\rho:=\frac{|f''(x^{\ast})|}{2|f'(x^{\ast})|} [/mm] $
Siehe auch hier
Dazu brauche ich die zweite Ableitung:
[mm] $f''(x)=n(n-1)x^{n-2}$
[/mm]
Also:
[mm] $\rho=\frac{n(n-1)\wurzel[n]{a}^{n-2}}{2n\wurzel[n]{a}^{n-1}}=\frac{(n-1)\wurzel[n]{a}^{n-2}}{2\wurzel[n]{a}^{n-2+1}}=\frac{(n-1)}{2\wurzel[n]{a}}$
[/mm]
Nun was sagt mir das jetzt? In dem oben verlinkten Thread habe ich bereits erfahren, dass es schlecht ist, wenn [mm] \rho [/mm] groß ist. Da es dann passieren kann, das meine Funktion nicht gegen [mm] x^{\ast} [/mm] konvergiert.
Nun für $a<<1$ treten dann hier Probleme auf, kann man das so sagen? Kann ich noch mehr daraus ablesen?
Viele Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 15.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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