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| Aufgabe | Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] zweimal stetig diffbar mit [mm] $f(x^{\ast})=0$ [/mm] und [mm] $f'(x^{\ast})\not= [/mm] 0$. Zeige für die Newton Iterierten [mm] x^k, x^{k+1} [/mm] die Identität:
[mm] $x^{\ast}-x^{k+1}=-\frac{1}{2}\frac{f''(x^k+\theta(x^{\ast}-x^k))}{f'(x^k)}(x^{\ast}-x^k)^2$
[/mm]
mit einem [mm] $\theta \in [/mm] (0,1)$ |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht zum Ziel. Ich habe bisher:
[mm] x^{k+1}=\Phi(x^k)=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}
[/mm]
Außerdem die Taylorentwicklung von [mm] $f(x^k)$:
[/mm]
[mm] $f(x^k)=f'(x^k)(x^{\ast}-x^k) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} f''(x^k [/mm] + [mm] \theta(x^{\ast}-x^k)) (x^{\ast}-x^k)^2$
[/mm]
Ist das Restglied so richtig angegeben?
Wenn ich nun alles zusammensetze komme ich auf:
[mm] $x^{\ast}-x^{k+1} [/mm] = [mm] x^{\ast} [/mm] - [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] x^{\ast} [/mm] - [mm] x^k+\frac{f(x^k)}{f'(x^k)} [/mm] = [mm] x^{\ast} [/mm] - [mm] x^k+\frac{f'(x^k)(x^{\ast}-x^k) + \frac{1}{2} f''(x^k + \theta(x^{\ast}-x^k)) (x^{\ast}-x^k)^2}{f'(x^k)} [/mm] = [mm] 2(x^{\ast}-x^k) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{f''(x^k + \theta(x^{\ast}-x^k))}{f'(x^k)}(x^{\ast}-x^k)^2$
[/mm]
Das ist ja leider nicht richtig. Wer kann mir weiterhelfen?
Viele Grüße Patrick
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Mach so:
[mm] f(x^{\ast})=f(x^k)+f'(x^k)(x^{\ast}-x^k)+f"(x^k+\theta(x^{\ast}-x^k))(x^{\ast}-x^k)^2/2 [/mm]
[mm] \Rightarrow f(x^k)+f'(x^k)(x^{\ast}-x^k) [/mm] = [mm] f(x^{\ast}) [/mm] - [mm] f"(x^k+\theta(x^{\ast}-x^k))(x^{\ast}-x^k)^2/2 [/mm] = [mm] -f"(x^k+\theta(x^{\ast}-x^k))(x^{\ast}-x^k)^2/2, [/mm] da [mm] f(x^{\ast})=0
[/mm]
Damit wird nun [mm] x^{\ast}-x^{k+1}=x^{\ast}-(x^k-\bruch{f(x^k)}{f'(x^k)})=x^{\ast}-x^k+\bruch{f(x^k)}{f'(x^k)})=\bruch{(x^{\ast}-x^k)*f'(x^k)+f(x^k)}{f'(x^k)})=\bruch{(-f"(x^k+\theta(x^{\ast}-x^k))(x^{\ast}-x^k)^2/2}{f'(x^k)})
[/mm]
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Ja, perfekt. Dankeschön.
Habe noch eine kleiner Frage. Die Aufgabe geht noch etwas weiter:
Aus dieser Darstellung ergibt scih die asymptotische Fehlerkonstante [mm] $\rho:=\frac{|f''(x^{\ast})|}{2|f'(x^{\ast})|}$ [/mm] Welche Bedeutung hat [mm] \rho [/mm] für die Konvergenz des Newton-Verfahrens nahe [mm] $x^{\ast}$?
[/mm]
Wahrscheinlich ja irgendwie sowas wie gute Konvergenz, wenn [mm] \rho [/mm] groß / klein bzw umgekehrt. Komm aber leider mit dem Thema noch nicht so richtig klar.
Danke für die Hilfe.
LG Patrick
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Auf der linken Seite der Endgleichung findest du den Abstand zwischen [mm] x^{k+1} [/mm] und dem gesuchten [mm] x^{\ast}, [/mm] also den Fehler, den du machst, wenn du statt des unbekannten Wertes den Näherungswert verwendest.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht der Faktor [mm] \bruch{f"(x^k+\theta(x^{\ast}-x^{k+1}))}{2f'(x^k)}(x^{\ast}-x^k)^2. [/mm]
Dabei ist - bei einigermaßen "braven" Funktionen (f' und f" stetig bei [mm] x^{\ast}) [/mm] - der Bruch als nahezu konstant anzusehen, wenn man schon ganz nah mit [mm] x^k [/mm] an [mm] x^{\ast} [/mm] herangekommen ist, denn dann steht da fast genau (bis auf ein [mm] \epsilon-chen)
[/mm]
[mm] \bruch{f"(x^{\ast})}{2f'(x^{\ast})}.
[/mm]
Dahinter steht dein zuvor gemachter Fehler zum Quadat. Also hast du nun:
[mm] Fehler_{neu}= \rho*Fehler_{alt}^2.
[/mm]
Ist nun [mm] |\rho*Fehler_{alt}|>1, [/mm] so ist [mm] |Fehler_{neu}|=|\rho*Fehler_{alt}^2|=|\rho*Fehler_{alt}|*|Fehler_{alt}|>1*|Fehler_{alt}|, [/mm] was bedeutet, dass du dich durch weitere Iterationen (wieder) von [mm] x^{\ast} [/mm] entfernst.
Nur bei kleinem [mm] \rho [/mm] oder kleinem momentanen Fehler ist somit sichergestellt, dass die weiteren Berechnungen gegen [mm] x^{\ast} [/mm] konvergieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Do 12.02.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank!
Ich denke, das habe ich verstanden. Ich habe aber trotzdem noch eine ähnliche Frage dazu. Aber ich denke, die stelle ich besser in einem eigenen Thread.
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