Residuensatz & Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:58 Di 07.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier jetzt noch eine Aufgabe, wo ich schon am Anfang nicht weiterkomme...
Zeige, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos{bx}\;dx [/mm] = [mm] e^{-\bruch{b^2}{4}}\wurzel{\pi} [/mm] für alle [mm] b\in \IR. [/mm] Hinweis: Integriere [mm] e^{-z^2} [/mm] über das Rechteck mit den Ecken r, [mm] r+\bruch{ib}{2}, -r+\bruch{ib}{2}, [/mm] -r und benutze den Residuensatz.
Ich habe mich jetzt erstmal gefragt, warum ich [mm] e^{-z^2} [/mm] integrieren soll und nicht [mm] e^{-x^2}, [/mm] aber das habe ich dann einfach mal so hingenommen und versucht - leider hab ich wohl einiges wieder vergessen, so dass da ein paar Fragen aufkamen:
Ich soll also berechnen:
[mm] \integral_R{e^{-z^2}\;dz}, [/mm] wobei R das angegebene Rechteck sein soll
[mm] =\integral_{-r+\bruch{ib}{2}}^{r+\bruch{ib}{2}}{\integral_{-r}^{r}{e^{-z^2}\;dx}\;dy} [/mm] - stimmt das soweit? Ich komme hier ein bisschen durcheinander mit den Variablenbezeichnungen. Muss ich das z jetzt schreiben als x+iy? Oder kann ich einfach so integrieren? Und wenn ja, dann setze ich für z die Grenzen ein, oder? Nur normalerweise könnte man doch das zweite Integral so umformen: [mm] =2\integral_0^{r}{e^{-z^2}\;dz}, [/mm] und nach meiner Integration ist das für 0 nicht definiert!?
So, und dann weiter mit dem Residuensatz:
Wir haben aufgeschrieben: (die Voraussetzungen lass ich jetzt mal weg)
[mm] \integral_{\gamma}f(z)\;dz [/mm] = [mm] 2\pii\summe_{a\in S}Res_af*n(\gamma,a)
[/mm]
Ist das jetzt so, dass das Integral, was ich "berechnen soll" in dem Satz der linke Teil ist? Dann frage ich mich wieder mal, was das [mm] \gamma [/mm] ist - kann man da das Rechteck nehmen? Und für die Residuen brauche ich doch die Polstellen, oder? Aber gibt's da denn hier überhaupt welche? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Und so ganz verstehe ich den Zusammenhang dieser Aufgabe mit dem Residuensatz noch nicht...
Vielleicht könnte mir jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du musst so vorgehen wie in meinem anderen Hinweis:
1) Den Weg über vier Teilstrecken parametrisieren.
2) Sich die einzelnen Wegintegrale anschauen: Zwei davon verschwinden für $r [mm] \to \infty$, [/mm] die beiden anderen lassen sich "verwurschteln" zu einem, nämlich dem (für $r [mm] \to \infty$) [/mm] gesuchten.
3) Residuensatz anwenden.
Ist wirklich nicht schwierig, denke ich, nur eine furchtbar nervige Rechnerei... ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Die zwei Aufgaben scheinen ja wirklich recht ähnlich zu sein, jedenfalls vom Prinzip her.
> 1) Den Weg über vier Teilstrecken parametrisieren.
Ich glaub', jetzt hab' ich auch verstanden, wie die Parametrisierungen zustande kommen - kann das sein, dass [mm] t\in[0,1] [/mm] ist? Dann ist das ganze ja keine Gerade, wie ich zuerst angenommen hatte, sondern wirklich nur dieses Stück, das wir brauchen. Und ich hatte das Rechteck zuerst irgendwie falsch gedacht und mir falsch gezeichnet (auch bei der anderen Aufgabe...) - ist das so richtig:
[mm] \gamma_1(t)=r+t\bruch{b}{2}i
[/mm]
[mm] \gamma_2(t)=r+\bruch{b}{2}i-2tr
[/mm]
[mm] \gamma_3(t)=-r+(1-t)\bruch{b}{2}i
[/mm]
[mm] \gamma_4(t)=-r+2tr
[/mm]
> 2) Sich die einzelnen Wegintegrale anschauen: Zwei davon
> verschwinden für [mm]r \to \infty[/mm], die beiden anderen lassen
> sich "verwurschteln" zu einem, nämlich dem (für [mm]r \to \infty[/mm])
> gesuchten.
Ich nehme mal an, dass die Integrale über [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_3 [/mm] verschwinden und schreibe mal meinen Rechenweg für [mm] \gamma_1:
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_1}f(x)\;dx [/mm] = [mm] \integral_{r}^{r+\bruch{b}{2}i}e^{-r^2-trbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\cos(b(r+t\bruch{b}{2}i))*\bruch{b}{2}i\;dt
[/mm]
Und nun behaupte ich mal (wie auch in der anderen Aufgabe schon...), dass ich hier den [mm] \lim [/mm] (der ja eigentlich davor steht) in das Integral reinziehen kann, und dass dann das ganze Integral =0 wird, da [mm] e^{-r^2}\to [/mm] 0 für [mm] r\to\infty.
[/mm]
Ich schätze mal, bei [mm] \gamme_3 [/mm] ist das dann exakt genauso, nur dass da halt anderen "Zahlen" stehen.
Die anderen zwei versuche ich morgen mal zu verwurschteln. Aber vielleicht kannst du mir mal ein paar Tipps geben (so wie in der anderen Aufgabe auch immer diese Sachen, die sich dann so und so vereinfachen lassen), denn ich fürchte, so blicke ich da sonst nicht so ganz durch. Aber damit du nicht so viel Schreibarbeit hast, lass es erst mal bei den Tipps (oder wird es dann erst recht Schreibarbeit, wenn ich es dann doch gar nicht selber hinbekomme?). Naja, ich hab' morgen vor eurem Kurs noch einiges an Zeit, wo ich das nochmal versuchen kann. 
> 3) Residuensatz anwenden.
Und das versuche ich dann, wenn ich soweit bin, allerdings verstehe ich noch nicht so ganz, wie daraus dann die Behauptung folgt (wie du ja gesagt hast, dass es dann direkt folgt...).
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 09.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > 1) Den Weg über vier Teilstrecken parametrisieren.
>
> Ich glaub', jetzt hab' ich auch verstanden, wie die
> Parametrisierungen zustande kommen - kann das sein, dass
> [mm]t\in[0,1][/mm] ist? Dann ist das ganze ja keine Gerade, wie ich
> zuerst angenommen hatte, sondern wirklich nur dieses Stück,
> das wir brauchen. Und ich hatte das Rechteck zuerst
> irgendwie falsch gedacht und mir falsch gezeichnet (auch
> bei der anderen Aufgabe...) - ist das so richtig:
>
> [mm]\gamma_1(t)=r+t\bruch{b}{2}i[/mm]
> [mm]\gamma_2(t)=r+\bruch{b}{2}i-2tr[/mm]
> [mm]\gamma_3(t)=-r+(1-t)\bruch{b}{2}i[/mm]
> [mm]\gamma_4(t)=-r+2tr[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , sehr schön!! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> > 2) Sich die einzelnen Wegintegrale anschauen: Zwei davon
> > verschwinden für [mm]r \to \infty[/mm], die beiden anderen lassen
> > sich "verwurschteln" zu einem, nämlich dem (für [mm]r \to \infty[/mm])
> > gesuchten.
>
> Ich nehme mal an, dass die Integrale über [mm]\gamma_1[/mm] und
> [mm]\gamma_3[/mm] verschwinden
>und schreibe mal meinen Rechenweg für
> [mm]\gamma_1:[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma_1}f(x)\;dx[/mm] =
> [mm]\integral_{r}^{r+\bruch{b}{2}i}e^{-r^2-trbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\cos(b(r+t\bruch{b}{2}i))*\bruch{b}{2}i\;dt[/mm]
Hier geht einiges durcheinander:
1) Die Integralgrenzen stimmen nicht, sie müssen $0$ und $1$ lauten.
2) Du solltest die Funktion [mm] $e^{-z^2}$ [/mm] integrieren, ohne den Cosinus.
3) Der Exponent bei der Exponentialfunktion stimmt nicht, du hast nicht [mm] $i^2=-1$ [/mm] beachtet. War doch richtig...
Versuche es bitte noch einmal.
> Und nun behaupte ich mal (wie auch in der anderen Aufgabe
> schon...), dass ich hier den [mm]\lim[/mm] (der ja eigentlich davor
> steht) in das Integral reinziehen kann, und dass dann das
> ganze Integral =0 wird, da [mm]e^{-r^2}\to[/mm] 0 für [mm]r\to\infty.[/mm]
> Ich schätze mal, bei [mm]\gamme_3[/mm] ist das dann exakt genauso,
> nur dass da halt anderen "Zahlen" stehen.
(eigentlich müsste man das alles exakter begründen (das wird Punktabzug geben), soll uns aber jetzt egal sein; es geht mehr um das Prinzip)
> Die anderen zwei versuche ich morgen mal zu verwurschteln.
> Aber vielleicht kannst du mir mal ein paar Tipps geben (so
> wie in der anderen Aufgabe auch immer diese Sachen, die
> sich dann so und so vereinfachen lassen), denn ich fürchte,
> so blicke ich da sonst nicht so ganz durch.
Versuche es erst einmal selber und wenn in der nächsten Zeit nichts von dir kommt, schreibe ich die Lösung auf.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 09.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Auf ein Neues.
> > [mm]\gamma_1(t)=r+t\bruch{b}{2}i[/mm]
> > [mm]\gamma_2(t)=r+\bruch{b}{2}i-2tr[/mm]
> > [mm]\gamma_3(t)=-r+(1-t)\bruch{b}{2}i[/mm]
> > [mm]\gamma_4(t)=-r+2tr[/mm]
[mm] \integral_{\gamma_1}f(z)\;dz [/mm] = [mm] \integral_0^1e^{-(r+\bruch{tb}{2}i)^2}*\bruch{b}{2}i\;dt [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}bi\integral_0^1e^{-r^2-rtbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}bi*e^{-r^2}\integral_0^1e^{-rtbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}bi*e^{-r^2}\integral_0^1e^{-rtbi}e^{\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt
[/mm]
Eigentlich müsste das so stimmen... Reicht das jetzt, um zu sehen, dass das =0 wird? Oder ist es vielleicht schon ein Schritt zu viel?
[mm] \integral_{\gamma_3}f(z)\;dz [/mm] = [mm] \integral_0^1e^{-(-r+(1-t)\bruch{b}{2}i)^2}*(-\bruch{b}{2}i)\;dt [/mm] = [mm] \integral_0^1e^{-r^2-(1-t)^2*\bruch{b^2}{4}i^2}(-\bruch{b}{2}i)\;dt [/mm] = [mm] -\bruch{b}{2}i\integral_0^1e^{-r^2}e^{(1-2t+t^2)\bruch{b^2}{4}}\;dt
[/mm]
> (eigentlich müsste man das alles exakter begründen
> (das wird Punktabzug geben), soll uns aber jetzt egal sein;
> es geht mehr um das Prinzip)
Ich denke schon, dass das hier reicht, schließlich gibt es für die ganze Aufgabe nur 5 Punkte, und so etwas ist wohl nicht direkt Thema von Analysis 4, sodass das wohl eh als bekannt vorausgesetzt wird. Jedendfalls reicht es mir, wenn es so zwar nicht exakt aber trotzdem richtig ist. Ist es das?
> > Die anderen zwei versuche ich morgen mal zu verwurschteln.
> > Aber vielleicht kannst du mir mal ein paar Tipps geben (so
> > wie in der anderen Aufgabe auch immer diese Sachen, die
> > sich dann so und so vereinfachen lassen), denn ich fürchte,
> > so blicke ich da sonst nicht so ganz durch.
>
> Versuche es erst einmal selber und wenn in der nächsten
> Zeit nichts von dir kommt, schreibe ich die Lösung auf.
>
Na gut. Ich dachte zwar, du könntest mir nur so Kleinigkeiten sagen, wie eben bei der anderen Aufgabe so Sachen wie [mm] \bruch{1-i}{1+i}=sowieso, [/mm] dann hättest du weniger Schreibarbeit und ich könnte zwischendurch gucken, ob ich wohl noch richtig bin beim Rechnen und wenn ich nicht weiterkomme, hätte ich eine Hilfe.
Soweit bin ich bis jetzt gekommen:
[mm] \integral_{\gamma_2}e^{-z^2}\;dz [/mm] + [mm] \integral_{\gamma_4}e^{-z^2}\;dz [/mm] = [mm] \integral_0^1e^{-r^2-bri+4tr^2+\bruch{b^2}{4}+2btri-4t^2r^2}*2r\;dt [/mm] + [mm] \integral_0^1e^{-r^2+4tr^2-4t^2r^2}*2r\;dt [/mm]
So, und jetzt könnte ich noch die 2r vor das Integral schreiben und die beiden Integrale als eins schreiben. Und dann? Wahrscheinlich muss ich im Exponenten etwas umsortieren, allerdings weiß ich nicht, ob ich da lieber [mm] r^2 [/mm] oder so oder lieber t ausklammern soll - oder doch noch anders?
Und das Zwischenergebnis, dass du in der anderen Mitteilung angegeben hast, ist das das, was jetzt hierbei herauskommt oder hast du da aschon das eigentlich zu berechnende Integral mit genommen?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Do 09.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Huups, ich komme jetzt zu einem anderen Zwischenergebnis (was aber äquivalent ist), offenbar hatte ich es beim ersten Mal etwas anders gerechnet als du jetzt (ich glaube ohne die Parametrisierungen).
> [mm]\integral_{\gamma_1}f(z)\;dz[/mm] =
> [mm]\integral_0^1e^{-(r+\bruch{tb}{2}i)^2}*\bruch{b}{2}i\;dt[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}bi\integral_0^1e^{-r^2-rtbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}bi*e^{-r^2}\integral_0^1e^{-rtbi+\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}bi*e^{-r^2}\integral_0^1e^{-rtbi}e^{\bruch{t^2b^2}{4}}\;dt[/mm]
>
> Eigentlich müsste das so stimmen... Reicht das jetzt, um zu
> sehen, dass das =0 wird? Oder ist es vielleicht schon ein
> Schritt zu viel?
Nein, das ist gut so. Der erste Faktor geht egen $0$ für $r [mm] \to \infty$, [/mm] und der zweite ist beschränkt. Lass es mal so, auch wenn man es sicherlich genauer zeigen könnte.
> [mm]\integral_{\gamma_3}f(z)\;dz[/mm] =
> [mm]\integral_0^1e^{-(-r+(1-t)\bruch{b}{2}i)^2}*(-\bruch{b}{2}i)\;dt[/mm]
> =
> [mm]\integral_0^1e^{-r^2-(1-t)^2*\bruch{b^2}{4}i^2}(-\bruch{b}{2}i)\;dt[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{b}{2}i\integral_0^1e^{-r^2}e^{(1-2t+t^2)\bruch{b^2}{4}}\;dt[/mm]
Hier stimmt die Rechnung nicht ganz. Da hast irgendwie die Binomische Formel nicht richtig angewendet, kann das sein? (Mir ist natürlich klar, das es sich um einen Flüchtigkeitsfehler handelt...  ).
> > (eigentlich müsste man das alles exakter begründen
> > (das wird Punktabzug geben), soll uns aber jetzt egal sein;
> > es geht mehr um das Prinzip)
>
> Ich denke schon, dass das hier reicht, schließlich gibt es
> für die ganze Aufgabe nur 5 Punkte, und so etwas ist wohl
> nicht direkt Thema von Analysis 4, sodass das wohl eh als
> bekannt vorausgesetzt wird. Jedendfalls reicht es mir, wenn
> es so zwar nicht exakt aber trotzdem richtig ist. Ist es
> das?
Ja, die Aussage an sich stimmt.
> > > Die anderen zwei versuche ich morgen mal zu verwurschteln.
> > > Aber vielleicht kannst du mir mal ein paar Tipps geben (so
> > > wie in der anderen Aufgabe auch immer diese Sachen, die
> > > sich dann so und so vereinfachen lassen), denn ich fürchte,
> > > so blicke ich da sonst nicht so ganz durch.
> >
> > Versuche es erst einmal selber und wenn in der nächsten
> > Zeit nichts von dir kommt, schreibe ich die Lösung auf.
> >
>
> Na gut. Ich dachte zwar, du könntest mir nur so
> Kleinigkeiten sagen, wie eben bei der anderen Aufgabe so
> Sachen wie [mm]\bruch{1-i}{1+i}=sowieso,[/mm] dann hättest du
> weniger Schreibarbeit und ich könnte zwischendurch gucken,
> ob ich wohl noch richtig bin beim Rechnen und wenn ich
> nicht weiterkomme, hätte ich eine Hilfe.
>
> Soweit bin ich bis jetzt gekommen:
> [mm]\integral_{\gamma_2}e^{-z^2}\;dz[/mm] +
> [mm]\integral_{\gamma_4}e^{-z^2}\;dz[/mm] =
> [mm]\integral_0^1e^{-r^2-bri+4tr^2+\bruch{b^2}{4}+2btri-4t^2r^2}*2r\;dt[/mm]
> + [mm]\integral_0^1e^{-r^2+4tr^2-4t^2r^2}*2r\;dt[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(aber ein Vorzeichen stimmt nicht), bei einer Ableitung kommr $-2r$ raus
Man erhält daraus:
$\int\limits_{0}^1 e^{-r^2 +4tr^2-4t^2r^2} \cdot \left( -e^{\red{-}bri + 2btri + \frac{b^2}{4} }+1} \right)2r\, dr$.
Substituiert man jetzt zurück, so ist dies gleich (hier war vorher auch ein Vorzeichenfehler :-():
$\int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right)$.
So, nun wissen wir insgesamt:
$\lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right) = 0$.
(Denn die rechte Seite war vorher schon $0$, zwei Integrale haben wir zusammengewurschtelt und zwei sind beim Grenzübergang weggefallen).
Ich schreibe das mal anders:
$0= \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-z^2} \cdot \left(-e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} + 1 \right)\, dz = \int\limits_{- \infty}^{\infty}e^{-z^2} (\cos(bz) + i \sin(bz)) \cdot e^{\frac{b^2}{4}} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2}dz$.
Bringt man den letzten Ausdruck auf die andere Seite und zieht das erste Integral auseinander, so erhält man:
$e^{\frac{b^2}{4}} \int\limits_{- \infty}^{\infty}e^{-z^2} \cos(bz)dz + ie^{\frac{b^2}{4}}\int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-z^2} \sin(bz)) \, dz= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2}\, dz$.
Wegen
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \sin(bz)=0$
(denn der Integrand ist eine ungerade, also nullpunktsymmetrische Funktion)
folgt:
$e^{\frac{b^2}{4}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \cos(bz) \, dz = \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-z^2} \, dz= \sqrt{\pi}$.
Daraus folgt die Behauptung:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \cos(bz)\, dz = e^{-\frac{b^2}{4}}\sqrt{\pi}$.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 09.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Vielen Dank! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Ich dachte, ich würde es ganz verstehen, leider hakt es doch noch. Aber lass dir mit der Erklärung ruhig Zeit...
> Hier stimmt die Rechnung nicht ganz. Da hast irgendwie die
> Binomische Formel nicht richtig angewendet, kann das sein?
> (Mir ist natürlich klar, das es sich um einen
> Flüchtigkeitsfehler handelt... ).
Ja, das stimmt, da hattte ich ja die Hälfte vergessen... Hätte es lieber gleich meinen Computer rechnen lassen sollen...
> Man erhält daraus:
>
> [mm]\int\limits_{0}^1 e^{-r^2 +4tr^2-4t^2r^2} \cdot \left( -e^{bri + 2btri + \frac{b^2}{4} }+1} \right)2r\, dr[/mm].
>
> Substituiert man jetzt zurück, so ist dies gleich:
>
> [mm]\int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{-biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right)[/mm].
So, hier habe ich jetzt mal eine Zeit lang hin und her überlegt. Ist das so ähnlich, wie letztens in der anderen Aufgabe? Allerdings war es da glaub ich doch noch etwas anders. Ich habe jetzt gedacht bzw. durch ein bisschen Probieren festgestellt, dass rücksubstituieren quasi bedeutet, dass ich eben den Weg wieder durch z ersetze. Allerdings kam das nicht so ganz hin, weil ich ja sowohl [mm] \gamma_2 [/mm] als auch [mm] \gamma_4 [/mm] habe... Ob du mir da noch kurz auf die Sprünge helfen könntest?
> So, nun wissen wir insgesamt:
>
> [mm]\lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{-biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right) = 0[/mm].
>
> (Denn die rechte Seite war vorher schon [mm]0[/mm], zwei Integrale
> haben wir zusammengewurschtelt und zwei sind beim
> Grenzübergang weggefallen).
Was heißt denn, die rechte Seite war vorher schon 0?
Der Rest war dann wieder klar...
Vielen Grüße und nochmal vielen Dank!!!
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Edit: Wie ich gerade sehe, steckten in meiner vorherigen Lösung zwei Vorzeichenfehler. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Bitte schaue dir meine letzte Antwort noch einmal an. Am besten wird sein du schreibst alles noch einmal sauber auf.
> Vielen Dank!
Gern geschehen.
> > Man erhält daraus:
> >
> > [mm]\int\limits_{0}^1 e^{-r^2 +4tr^2-4t^2r^2} \cdot \left( -e^{bri + 2btri + \frac{b^2}{4} }+1} \right)2r\, dr[/mm].
Hier hatten wir vorher einen Vorzeichenfehler gemacht. Lies dir meine Antwort von davor noch einmal durch, die ich jetzt verbessert habe.
> >
> > Substituiert man jetzt zurück, so ist dies gleich:
> >
> > [mm]\int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{-biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right)[/mm].
Was bedeutet denn das letzte Integral?
Richtig muss es im übrigen
[mm]\int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right)[/mm]
heißen, siehe meine letzte Antwort.
Es wird ja über den Weg
[mm] $\gamma_r [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IC \\[5pt] t & \mapsto & -r+2rt \end{array}$
[/mm]
parametrisiert, mit [mm] $\gamma_r'(t)=2t$.
[/mm]
Also erhält man:
[mm]\int\limits_{-r}^r e^{-z^2} \cdot \left( -e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} +1 \right)\, dz[/mm]
[mm]\int\limits_{\gamma_r} e^{-z^2} \cdot \left( -e^{biz} \cdot e^{\frac{b^2}{4}}+1 \right) \, dt[/mm]
[mm]\int\limits_0^1 e^{-\gamma_r^2(t)} \cdot \left( -e^{bi\gamma_r(t)} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} + 1 \right) \gamma_r'(t)\, dt[/mm]
[mm]\int\limits_0^1 e^{-(-r+2rt)^2} \cdot \left( -e^{bi(-r+2rt)} \cdot e^{\frac{b^2}{4}} + 1 \right) 2r\, dt[/mm]
[mm]\int\limits_{0}^1 e^{-r^2 +4tr^2-4t^2r^2} \cdot \left( -e^{-bri + 2btri + \frac{b^2}{4} }+1} \right)2r\, dr[/mm].
> Was heißt denn, die rechte Seite war vorher schon 0?
Naja, wenn wir die Summe der vier Wegintegrale betrachten, ist dies ja nach dem Residuensatz gleich [mm] $2\pi [/mm] i$ mal die Summe der Residuen. Da aber die betrachtete Funktion holomorph ist, gibt es keine Residuen. Also ist die Summe der vier Wegintegrale gleich $0$. Wenn man dann anschließend zum Grenzübergang übergeht, bleibt die rechte Seite natürlich $0$ (und die linke Seite wird zu dem gewünschten (reellen) Integral). Das hatte ich in einem meiner vorherigen Beiträge schon erwähnt.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Man erhält als Zwischenergebnis (wenn man so vorgeht, wie ich es skizziert habe; beachte bitte, dass man hier keine Pole hat und daher die Summe über alle Residuen gleich $0$ ist):
[mm] $\lim\limits_{r\to\infty}\int\limits_{-r}^r e^{-r^2} \left( \cos(br)- e^{-\frac{b^2}{4}} \right) \, [/mm] dr =0$,
woraus dann wegen [mm] $\int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} [/mm] = [mm] \sqrt{\pi}$
[/mm]
unmittelbar die Behauptung folgt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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