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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Folgende Aufgabe möchte ich noch gerne berechnen:
Berechne mittels Residuenkalküls das Integral
[mm] \integral_0^{2\pi}cos^{2n}x\;dx [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Hinweis: Benutze cos x = [mm] \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm] für [mm] x\in \IR.
[/mm]
So, nun haben wir folgendes aufgeschrieben:
[mm] \integral_{\gamma}f(z)\;dz [/mm] = [mm] 2\pi i\summe_{a\in S}Res_af*n(\gamma,a) [/mm] mit [mm] n(\gamma, [/mm] a) Windungszahl von [mm] \gamma [/mm] um a
Meine erste Frage: was ist hier [mm] \gamma? [/mm] Könnte das sin x sein? (vielleicht bin ich nur schon zu müde...)
2. Frage: Was ist a bzw. S? Ich habe hier zwar noch ein paar Voraussetzungen stehen, aber da steht eigentlich nur S [mm] \subset [/mm] U, U [mm] \subset \IC [/mm] offen. Ist S vielleicht die Menge der Singularitäten oder so? Und was wäre das dann hier? Vielleicht [mm] \bruch{1}{2}\pi+2k\pi?
[/mm]
Und das mit der Windungszahl habe ich leider auch noch nicht verstanden. Also, wie man sich das anschaulich vorstellt, schon, aber wie man das berechnet, das weiß ich leider nicht. Ob mir das vielleicht auch jemand erklären könnte?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Do 02.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Nur ganz schnell, da ich jetzt nach Hause muss (erklären kann es dir ja jemand anders), ich gebe nur die Lösung an (die hoffentlich richtig ist):
[mm] $\int\limits_0^{2\pi} \cos(x)^{2n}\, [/mm] dx$
$= [mm] \int\limits_0^{2\pi} \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{ie^{ix}}{ie^{ix}}\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{1}{i} \int\limits_{|z|=1} \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{z}\, [/mm] dz$
$= [mm] \frac{1}{i2^{2n}} \int\limits_{|z|=1} \frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}\, [/mm] dz$
$= [mm] \frac{2\pi i}{i2^{2n}} [/mm] Res_0f$ (mit [mm] $f(z)=\frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}$)
[/mm]
$= [mm] \ldots$
[/mm]
(der Rest war auf jeden Fall falsch)
Bitte unbedingt nachrechnen, das habe ich jetzt in zwei Minuten hingesaut! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Vielen Dank schon mal! Ich dachte zweitweise, du bist zur Zeit verschollen - irgendwie hatte ich dich hier kaum noch gesehen...
> Nur ganz schnell, da ich jetzt nach Hause muss (erklären
> kann es dir ja jemand anders), ich gebe nur die Lösung an
> (die hoffentlich richtig ist):
Mmh, anscheinend sind nicht so viele an meinen Fragen interessiert...
> [mm]\int\limits_0^{2\pi} \cos(x)^{2n}\, dx[/mm]
>
> [mm]= \int\limits_0^{2\pi} \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{ie^{ix}}{ie^{ix}}\, dx[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{i} \int\limits_{|z|=1} \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{z}\, dz[/mm]
Also, ich habe keine Ahnung, wie du hier drauf kommst. Hast du da irgendwas substituiert oder wie nennt sich das? Wo kommt das z her?
> [mm]= \frac{1}{i2^{2n}} \int\limits_{|z|=1} \frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}\, dz[/mm]
Das konnte ich, nachdem ich mir von meinem Rechner hab sagen lassen, dass es wirklich richtig ist, auch nachvollziehen. 
> [mm]= \frac{2\pi i}{i2^{2n}} Res_0f[/mm] (mit
> [mm]f(z)=\frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}[/mm])
und das stimmt wohl auch - wo solltest du denn etwas falsch gemacht haben? Hätte wohl höchstens ein Tippfehler sein können, aber ich habe keinen gefunden.
> [mm]= \ldots[/mm]
>
> (der Rest war auf jeden Fall falsch)
Was meinst du hiermit? Ist das jetzt schon das Ergebnis oder muss man noch weiterrechnen?
> Bitte unbedingt nachrechnen, das habe ich jetzt in zwei
> Minuten hingesaut!
Danke, dass du dir trotzdem die zwei Minuten (und es waren doch bestimmt ein paar mehr ) genommen hast.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Vielen Dank schon mal! Ich dachte zweitweise, du bist zur
> Zeit verschollen - irgendwie hatte ich dich hier kaum noch
> gesehen...
Huups... ich bin jeden Tag stundenlang hier... schau mal auf die Top20-Liste...
> > Nur ganz schnell, da ich jetzt nach Hause muss (erklären
> > kann es dir ja jemand anders), ich gebe nur die Lösung an
> > (die hoffentlich richtig ist):
> Mmh, anscheinend sind nicht so viele an meinen Fragen
> interessiert...
Geht mir leider auch immer so, wenn ich denn mal eine Frage stelle...
> > [mm]\int\limits_0^{2\pi} \cos(x)^{2n}\, dx[/mm]
> >
> > [mm]= \int\limits_0^{2\pi} \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{ie^{ix}}{ie^{ix}}\, dx[/mm]
> >
> > [mm]= \frac{1}{i} \int\limits_{|z|=1} \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{z}\, dz[/mm]
>
> Also, ich habe keine Ahnung, wie du hier drauf kommst. Hast
> du da irgendwas substituiert oder wie nennt sich das? Wo
> kommt das z her?
Ich habe sozusagen rückwärts substituiert. Nachvollziehen kannst du es ganz gut, wenn du mal mit
[mm]= \frac{1}{i} \int\limits_{|z|=1} \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{z}\, dz[/mm]
beginnst. Es wird ja über den Einheitskreis integriert. Diesen kann man mittels
[mm] $\gamma: \begin{array}{ccc} [0,2\pi] & \to & \IC \\[5pt] t & \mapsto & e^{it} \end{array}$
[/mm]
parametrisieren. Die Formel lautet ja allgemein:
[mm] $\int\limits_{|z|=1} f(z)\, [/mm] dz ) = [mm] \int\limits_{0}^{2\pi} f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\, [/mm] dt = [mm] \int\limits_{0}^{2\pi} f(e^{it}) \cdot ie^{it}\, [/mm] dt$.
Auf unsere Situation umgesetzt bedeutet es:
[mm]\frac{1}{i} \int\limits_{|z|=1} \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{z}\, dz[/mm]
[mm]= \frac{1}{i} \int\limits_{0}^{2\pi} \left( \frac{e^{it} + \frac{1}{e^{itx}}}{2} \right)^{2n} \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{itx} \, dt[/mm]
[mm]= \int\limits_{0}^{2\pi} \left( \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} \right)^{2n} \frac{ie^{itx} }{ie^{itx}}\, dt[/mm]
Siehst du, und das ist genau die Zeile von oben.
>
> > [mm]= \frac{1}{i2^{2n}} \int\limits_{|z|=1} \frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}\, dz[/mm]
>
> Das konnte ich, nachdem ich mir von meinem Rechner hab
> sagen lassen, dass es wirklich richtig ist, auch
> nachvollziehen.
>
>
> > [mm]= \frac{2\pi i}{i2^{2n}} Res_0f[/mm] (mit
> > [mm]f(z)=\frac{(z^2+1)^{2n}}{z^{2n+1}}[/mm])
>
> und das stimmt wohl auch - wo solltest du denn etwas falsch
> gemacht haben? Hätte wohl höchstens ein Tippfehler sein
> können, aber ich habe keinen gefunden.
Nein, es war wirklich alles richtig, ich habe es vorhin noch einmal nachgerechnet. Wir sind jetzt aber noch nicht fertig, denn wir müssen ja noch [mm]Res_0f[/mm] berechnen. Nach der Formel, die ich gestern schon einmal genannt hatt (hier ist [mm] $z_0=0$ [/mm] ein Pol der Ordnung $2n+1$) gilt:
$Res_0f = [mm] \frac{g^{(2n)}(0)}{(2n)!}$
[/mm]
mit $g(z) = [mm] z^{2n+1} \cdot [/mm] f(z) = [mm] (z^2+1)^{2n}$.
[/mm]
Nun gilt aber
$g(z) = [mm] (z^2+1)^{2n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{2n} [/mm] {{2n} [mm] \choose [/mm] k} [mm] z^{2k}$.
[/mm]
Wenn wir jetzt die $2n$-te Ableitung an der Stelle $0$ berechnen, fallen alle Summanden (durch das Einsetzen von $z=0$) weg - bis auf den, der beim Ableiten eine Konstante liefert, und das ist der Summand für $k=n$.
Es gilt daher:
[mm] $g^{(2n)}(0) [/mm] = {{2n} [mm] \choose [/mm] n} [mm] \cdot [/mm] (2n)!$,
also:
$Res_0f = [mm] \frac{g^{(2n)}(0)}{(2n)!}= [/mm] {{2n} [mm] \choose [/mm] n}$.
Somit erhalten wir insgesamt:
[mm] $\int\limits_0^{2\pi} \cos(x)^{2n}\, [/mm] dx = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{2\pi i}{i2^{2n}} [/mm] Res_0f = [mm] 2^{1-2n} \cdot [/mm] {{2n} [mm] \choose n}\pi$.
[/mm]
Mathematica stimmt mir übrigens für $n=4$ und $n=8$ (kleine Stichprobe, ich weiß... ) zu, dass das Ergebnis richtig ist. Kannst du ja vielleicht auch mal mit dem Rechner überprüfen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Jetzt noch zu den noch offenen Fragen:
> Meine erste Frage: was ist hier [mm]\gamma?[/mm]
[mm] $\gamma$ [/mm] ist, wie in meiner anderen Antwort schon geschrieben, der paramterisierte Einheitskreisbogen, also ein Weg in der komplexen Ebene (einmal um die $0$ rum mit Radius $1$).
Es entspricht der Parametrisierung:
[mm] $\gamma :\begin{array}{ccc} [0,2\pi[ & \to & \IC \\[5pt] t & \mapsto & e^{it}\end{array}.$
[/mm]
> 2. Frage: Was ist a bzw. S? Ich habe hier zwar noch ein
> paar Voraussetzungen stehen, aber da steht eigentlich nur S
> [mm]\subset[/mm] U, U [mm]\subset \IC[/mm] offen. Ist S vielleicht die Menge
> der Singularitäten oder so?
Genau! Und die $a$ sind dann die Singularitäten.
> Und was wäre das dann hier?
Naja, wir hatten ja die Funktion
$f(z) = [mm] \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{1}{z}$.
[/mm]
Diese Funktion hat nur eine Singularität, und zwar in $a=0$.
> Und das mit der Windungszahl habe ich leider auch noch
> nicht verstanden.
Mathematisch ist es schwierig zu erklären. Anschaulich ist [mm] $n(\gamma,a)$ [/mm] einfach die Anzahl, wie oft man mit [mm] $\gamma$ [/mm] um $a$ rumläuft. Hier durchläuft man den Einheitskreis ja nur einmal mit [mm] $\gamma$, [/mm] daher ist [mm] $n(\gamma,0)=1$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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