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Hallo ,
ich weiß beim Oberflächenintegral überhaupt nicht, wie ich parametrisieren kann(SOLL!).
Z.B. bei dieser Aufgabe : f(x,y,z)=(zh-z²)(x²+y²)
auf der Menge
Z={ (x,y,z) [mm] \varepsilon \IR³ [/mm] |x²+y²=r² , z [mm] \varepsilon(0,h)}
[/mm]
Warum nimmt man hier Zylinderparameter ? [mm] w(\phi,\psi)=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi \\ \psi}
[/mm]
Ich würde mich sehr über eine ausführliche Antwort freuen , die mir sagt, wann ich welche Parametrisierung nehmen soll.. ich kenne Kugel und Zylinderparametrisierung.
Ich verstehe bei den Aufgaben nie welche ich nehmen soll und warum, was muss ich vorher wissen ?(Grundfunktionen) ?
Ich möchte in der Lage sein die Aufgabe 4 ![[]](/images/popup.gif) LINK lösen zu können,
die Prüfung ist demnächst !
Dankend
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Ich habe ein sehr konkretes Beispiel, die Prüfung vom letzten Semester,
dort verstehe ich die Aufgabe 1 (überhaupt)nicht.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Wenn mir das einer erklären könnte,
wäre ich sehr dankbar.
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo MacChevap,
> Ich habe ein sehr konkretes Beispiel, die Prüfung vom
> letzten Semester,
> dort verstehe ich die Aufgabe 1 (überhaupt)nicht.
>
> Datei-Anhang
Zuerst wurde die Fläche
[mm]D=\left\{\left\(x,y,z\right) \in \IR^{3} \ \left| \right x^{2}+6y^{2}=z,\ z \in \left[0,h\right]\right\}, \ h \in \IR, \ h> 0[/mm]
parametrisiert.
Zur Parametrisierung betrachten wir die Gleichung
[mm]x^{2}+6y^{2}=z[/mm]
Da z > 0 können wir hier [mm]z=r[/mm] wählen.
Die linke Seite der Gleichung erinnert an den trigonometrischen Pythagoras:
[mm]r*\cos^{2}\left(\varphi\right)+r*\sin^{2}\left(\varphi\right)=r[/mm]
Ein Vergleich mit der obigen Gleichung liefert:
[mm]x^{2}=r*\cos^{2}\left(\varphi\right) \Rightarrow x= \wurzel{r}\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]6y^{2}=r*\sin^{2}\left(\varphi\right) \Rightarrow y= \wurzel{\bruch{r}{6}}\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Daraus ergibt sich die Transformation:
[mm]\omega\left(\varphi, \ r \right)=\pmat{\wurzel{r}\cos\left(\varphi\right) \\ \wurzel{\bruch{r}{6}}\sin\left(\varphi\right) \\ r}[/mm]
Zur Bildung des Normalenvektors (der Vektor, der senkrecht auf der Tangentialebene steht) wurde die Parametrisierung nach r und [mm]\varphi[/mm] abgeleitet. Also die Vektoren [mm]\omega_{\varphi}[/mm] und [mm]\omega_{r}[/mm] gebildet.
Dann wurde das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren [mm]\omega_{\varphi}[/mm] und [mm]\omega_{r}[/mm] gebildet.
Im letzten Teil ( der nach "Andererseits gilt" steht) wurde ein spezieller Punkt auf der Fläche ausgewählt. Zu diesem Punkt ist dann der Normaleneinheitsvektor (Ein Vektor vom Betrag 1) gebildet worden.
>
> Wenn mir das einer erklären könnte,
> wäre ich sehr dankbar.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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> Hallo ,
>
> ich weiß beim Oberflächenintegral überhaupt nicht, wie ich
> parametrisieren kann(SOLL!).
Hallo,
ich finde so etwas auch oft total schwer, was sicher auch damit zusammenhängt, daß ich nicht so geübt darin bin.
Ich glaube, man muß das sehr üben, dann wird es sein wie mit vielem anderen wie z.B. Substitutionen bei Integralen: die sachen wiederholen sich.
Am besten versucht man erstmal, sich einen Eindruck von der zu parametriesierenden Oberfläche zu verschaffen, damit man mal weiß, was in etwa das für ein Ding ist, was man vorliegen hat.
Prinzipiell kann man sagen, daß man achsensymmetrische Oberflächen durch Zylinderkoordinaten und punktsymmetrische durch Kugelkoordinaten beschreibt.
Einen Eindruck von den Oberflächen bekommt man, wenn man sich die Höhenlinien anguckt, also immer eine der drei Variablen x,y,z konstant hält.
> Z.B. bei dieser Aufgabe : f(x,y,z)=(zh-z²)(x²+y²)
> auf der Menge
> [mm] Z=\{ (x,y,z) \varepsilon \IR³|x²+y²=r² , z\varepsilon(0,h)\}
[/mm]
>
> Warum nimmt man hier Zylinderparameter ?
Weil's ein eine Zylinderoberfläche ist.
Halte ich z konstant, lege also Schnitte parallel zur xy-Ebene, so sind dies Kreise vom Radius r [mm] (x^2+y^2=r^2), [/mm] welche allesamt den Mittelpunkt (0 / 0 / z) haben.
Damit ist die Sache ja klar: Zylinder.
Aber aus Spaß, und weil das für andere Aufgaben von Belang sein kann, kann ich mit ja auch mal ansehen, was ich bekomme, wenn ich y konstant halte, also die Schnitte mit der xz-Ebene:
[mm] x^2+const=r^2 [/mm] ==> [mm] x=\wurzel{r^2-const} [/mm] oder [mm] x=-\wurzel{r^2-const} [/mm] . Weil r const. ist, ist [mm] r^2-const [/mm] konstant.
Hier sieht man, daß sofern y>r ist, der Schnitt leer ist, und für [mm] |y|\le [/mm] r bekommt man zwei Geraden in der Schnittebene, welche parallel zur z-Achse sind.
Ein paar Dinge gehören zur Grundausstattung, z.B. die Gleichung einer Kugel von Radius R um den Punkt (a,b,c) ist [mm] (x-a)^2+(y-b)^2 [/mm] + [mm] (z-c)^2=R^2.
[/mm]
In Deinem zweiten Beispiel auf Deinem Übungsblatt kannst Du sehen, daß die Schnitte mit den zur xy-Ebene Parallelen Ebenen Kreise sind mit dem Mittelpunkt (0 / 0/ z), was stark daraufhindeutet, daß die Oberfläche achsensymmetrisch zur z-Achse ist.
Allerdings ist ihr Radius veränderlich. Überlege Dir, wie der Radius von z abhängt.
Gruß v. Angela
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