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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Do 13.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Nullstellen von f' und untersuchen Sie anhand der Vorzeichenwechsel von f', wo f ein lokales Maximum oder Minimum besitzt.
a) f(x) = x³ + x² - 16x - 16
b) f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x²} [/mm] |
Hallo Zusammen,
a)
die erste Ableitung ist:
f'(x) = 3x² + 2x - 16
die drei Ausklammern f'(x) = 3(x² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{16}{3}) [/mm] 'warum klammert man immer die erste Zahl in diesem Fall 3 aus?
Nun die Nullstellen der Funktion f'(x) bestimmen, [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = 2
Daraus folgt: [mm] 3(x+\bruch{8}{3})(x-2) [/mm] 'wie nennt man diese Form? Für was steht dies?
Anhand des Vorzeichenwechsel nun untersuchen welche Stelle Hoch- bzw. Tiefpunkt ist.
- Für [mm] x<-\bruch{8}{3}:
[/mm]
[mm] (x+\bruch{8}{3}) [/mm] < 0 und (x-2) < 0 -> f'(x) > 0
- Für [mm] -\bruch{8}{3}
[mm] (x+\bruch{8}{3}) [/mm] > 0 und (x-2) < 0 -> f'(x) < 0
- Für x > 2:
[mm] (x+\bruch{8}{3}) [/mm] > 0 und (x-2) > 0 -> f'(x) > 0
Also ein Vorzeichnwechsel von + nach - und von - nach +, daraus folgt:
lokales Maximum bei [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{3}
[/mm]
lokales Minimum bei [mm] x_2 [/mm] = 2
So müsste es ja stimmen, und ist auch mathematisch treffender als wenn man nur die Werte einsetzt und dann schaut was passiert. Wenn ich dies so aufschreibe, passt es, oder?
In der Lösung steht folgendes:
-> f'(x) = [mm] 3(x+\bruch{8}{3})(x-2)
[/mm]
-> f'(x) > 0 > f'(und nun ein x mit einem Strich drüber, was soll das sein?) für x < [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] < und wieder das x mit dem Strich darüber < 2 -> lokales Maximum in [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{3}
[/mm]
b)
f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1-x²}{(1+x²)²}
[/mm]
nun herausfinden wann f'(x) = 0 ist, also [mm] \bruch{1-x²}{(1+x²)²} [/mm] = 0, ein Bruch wird Null wenn der Zähler gleich Null ist:
1-x² = 0 -> [mm] x_1 [/mm] = -1 und [mm] x_2 [/mm] = 1
wie kommt man nun auf die obige Form [mm] (3(x+\bruch{8}{3})(x-2)), [/mm] mit den Nullstellen von f'(x)?
für den Vorzeichenwechsel muss ich doch auch nur den Zähler betrachten?
also 1-x²
- Für x < -1:
f'(x) < 0
- Für -1 < x < 1:
f'(x) > 0
- Für x > 1:
f'(x) < 0
also ein Vorzweichenwechsel von - nach + und von + nach -, daraus folgt:
[mm] x_1 [/mm] = -1 ist ein lokales Minimum
[mm] x_2 [/mm] = 1 ist ein lokales Maximum
stimmt das, in der Lösung taucht wieder das x mit dem Strick darüber auf, was bedeutet dies?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo itse,
> Bestimmen Sie alle Nullstellen von f' und untersuchen Sie
> anhand der Vorzeichenwechsel von f', wo f ein lokales
> Maximum oder Minimum besitzt.
>
> a) f(x) = x³ + x² - 16x - 16
>
> b) f(x) = [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> a)
> die erste Ableitung ist:
>
> f'(x) = 3x² + 2x - 16
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> die drei Ausklammern f'(x) = 3(x² + [mm]\bruch{2}{3}x[/mm] -
> [mm]\bruch{16}{3})[/mm] 'warum klammert man immer die erste Zahl in
> diesem Fall 3 aus?
Damit man das Polynom später leichter faktorisieren kann.
>
> Nun die Nullstellen der Funktion f'(x) bestimmen, [mm]x_1[/mm] =
> [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] und [mm]x_2[/mm] = 2
>
> Daraus folgt: [mm]3(x+\bruch{8}{3})(x-2)[/mm] 'wie nennt man diese
> Form? Für was steht dies?
Das ist die ![[]](/images/popup.gif) Faktorisierung von Polynomen
Die Nullstellen sind [mm]x_{1}=-\bruch{8}{3}[/mm] und [mm]x_{2}=2[/mm].
Die Linearfaktoren sind daher [mm]x-\left(-\bruch{8}{3}\right)[/mm] und [mm]x-2[/mm].
Daher lautet die Faktorisierung des Polynoms:
[mm]3x^2+2x-16=3*\left(x^{2}+\bruch{2}{3}x-\bruch{16}{3}\right)=3*\left(x-\left(-\bruch{8}{3}\right)\right)*\left(x-2\right)[/mm]
>
> Anhand des Vorzeichenwechsel nun untersuchen welche Stelle
> Hoch- bzw. Tiefpunkt ist.
>
> - Für [mm]x<-\bruch{8}{3}:[/mm]
>
> [mm](x+\bruch{8}{3})[/mm] < 0 und (x-2) < 0 -> f'(x) > 0
>
> - Für [mm]-\bruch{8}{3}
>
> [mm](x+\bruch{8}{3})[/mm] > 0 und (x-2) < 0 -> f'(x) < 0
>
> - Für x > 2:
>
> [mm](x+\bruch{8}{3})[/mm] > 0 und (x-2) > 0 -> f'(x) > 0
>
> Also ein Vorzeichnwechsel von + nach - und von - nach +,
> daraus folgt:
>
> lokales Maximum bei [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{8}{3}[/mm]
>
> lokales Minimum bei [mm]x_2[/mm] = 2
>
>
> So müsste es ja stimmen, und ist auch mathematisch
> treffender als wenn man nur die Werte einsetzt und dann
> schaut was passiert. Wenn ich dies so aufschreibe, passt
> es, oder?
Ja.
>
> In der Lösung steht folgendes:
>
> -> f'(x) = [mm]3(x+\bruch{8}{3})(x-2)[/mm]
> -> f'(x) > 0 > f'(und nun ein x mit einem Strich drüber,
> was soll das sein?) für x < [mm]-\bruch{8}{3}[/mm] < und wieder das
> x mit dem Strich darüber < 2 -> lokales Maximum in [mm]x_1[/mm] =
> [mm]-\bruch{8}{3}[/mm]
Das [mm]\overline{x}[/mm] ist aus dem Intervall [mm]\left]-\bruch{8}{3},2\right[[/mm], demnach [mm]-\bruch{8}{3}< \overline{x} < 2[/mm].
>
>
> b)
> f(x) = [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1-x²}{(1+x²)²}[/mm]
>
> nun herausfinden wann f'(x) = 0 ist, also
> [mm]\bruch{1-x²}{(1+x²)²}[/mm] = 0, ein Bruch wird Null wenn der
> Zähler gleich Null ist:
>
> 1-x² = 0 -> [mm]x_1[/mm] = -1 und [mm]x_2[/mm] = 1
>
> für den Vorzeichenwechsel muss ich doch auch nur den Zähler
> betrachten?
In der Regel Zähler und Nenner, hier genügt es nur den Zähler zu betrachten, da der Nenner immer größer 0 ist.
>
> also 1-x²
>
> - Für x < -1:
> f'(x) < 0
>
> - Für -1 < x < 1:
> f'(x) > 0
>
> - Für x > 1:
> f'(x) < 0
>
> also ein Vorzweichenwechsel von - nach + und von + nach -,
> daraus folgt:
>
> [mm]x_1[/mm] = -1 ist ein lokales Minimum
> [mm]x_2[/mm] = 1 ist ein lokales Maximum
>
> stimmt das, in der Lösung taucht wieder das x mit dem
> Strick darüber auf, was bedeutet dies?
Ich kann mir das nur so erklären, daß das [mm]\overline{x}[/mm]
aus einem anderen Intervall ist.
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
MathePower
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