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| Aufgabe | Die folgenden Kegelschnittsgleichungen bringe man durch eine geeignete Transformation auf eine Form, in der alle gemischt-quadratischen Glieder fehlen. Um welchen Kegelschnittstyp handelt es sich?
a) 9x² - 24xy + 16y² - 130x + 90y + 175 = 0
b) 5x² - 6xy - 3y² + 2x + 18y - 43 = 0 |
Hallöchen!
Erstmal das Obligatorische:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Muss ehrlich gestehen, dass ich keinerlei blassen Schimmer hab, wie ich diese Aufgabe lösen soll...
Was bedeutet "geeignete Transformation"? Müsste ich die Glieder in Polarkoordinaten transformieren? Ebenfalls kann ich keine gemischt-quadratischen Glieder finden, die sind doch entweder gemischt oder quadratisch...
Und wie verfahre ich dann weiter?
Ihr merkt: Ich bin im Bezug auf diese Materie absolut ahnungslos - Es sind momentan Semesterferien und weder ein Mathe-Skript noch sonstige Ansprechpartner in der Uni erreichbar - HILFE!
Ich sag schon mal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
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Hallo OnkelViktor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die folgenden Kegelschnittsgleichungen bringe man durch
> eine geeignete Transformation auf eine Form, in der alle
> gemischt-quadratischen Glieder fehlen. Um welchen
> Kegelschnittstyp handelt es sich?
> a) 9x² - 24xy + 16y² - 130x + 90y + 175 = 0
> b) 5x² - 6xy - 3y² + 2x + 18y - 43 = 0
> Hallöchen!
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> Erstmal das Obligatorische:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Muss ehrlich gestehen, dass ich keinerlei blassen Schimmer
> hab, wie ich diese Aufgabe lösen soll...
> Was bedeutet "geeignete Transformation"? Müsste ich die
> Glieder in Polarkoordinaten transformieren? Ebenfalls kann
> ich keine gemischt-quadratischen Glieder finden, die sind
> doch entweder gemischt oder quadratisch...
Doch, gemischt-quadratische Glieder sind in beiden Gleichungen enthalten.
> Und wie verfahre ich dann weiter?
Die allgemeine Gleichung 2. Grades in x und y lautet:
[mm]a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0[/mm]
Mit den Bezeichnungen
[mm]\overrightarrow{x}=\pmat{x \\ y}[/mm]
[mm]\overrightarrow{x}^{T}:=\pmat{x & y}[/mm]
[mm]\overrightarrow{a}^{T}:=\pmat{a_{13} & a_{23}}[/mm]
[mm]A:=\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}}[/mm]
[mm]d:=a_{33}[/mm]
läßt sich diese Gleichung wie folgt schreiben:
[mm]\overrightarrow{x}^{T}*A*\overrightarrow{x}+2*\overrightarrow{a}^{T}*\overrightarrow{x}^{T}+d=0[/mm]
Die gängige Vorgehensweise ist nun die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A zu bestimmen.
Dann erhältst Du eine Transformationsmatrix, die aus den Eigenvektoren zu den verschieden Eigenwerten besteht.
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> Ihr merkt: Ich bin im Bezug auf diese Materie absolut
> ahnungslos - Es sind momentan Semesterferien und weder ein
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> erreichbar - HILFE!
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> Ich sag schon mal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
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