Abstand windschiefe Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo !!
Meine Mathelehrerin hat mir ein Referat aufgehalst mit einer erwünschten Thematik, die wie sie selber zugab, wir noch nie behandelt haben... Na klasse.. Und ich bin damit absolut überfordert:
Also das Referat geht über den kleinsten Abstand windschiefe Geraden und jetzt ACHTUNG:
nicht mithilfe von Normalenvektoren, Ebenen, etc. sondern KOMPLETT ANDERS:
sagen wir, wir haben die windschiefen Geraden
g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+r*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
h: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 6 \\ 4}+s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
die Idee ist, den Betrag eines allgemeinen Vektors von einem allgemeinen Punkt [mm] P_{1} \varepsilon [/mm] g zu einem allgemeinen Punkt [mm] P_{2} \varepsilon [/mm] h zu bestimmen.
Gehn wir also ans Werk:
[mm] P_{1} [/mm] ist eine Punkteschar: [mm] P_{1} [/mm] = (2+r|3+2*r|-2*r)
[mm] P_{2} [/mm] ist eine Punkteschar: [mm] P_{2} [/mm] = (1-s|6+2*s|4)
[mm] \overrightarrow{P_{1}P_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-1-s-r \\ 3+2*s-2*r \\ 4+2*r}
[/mm]
Und der Betrag des Vektors, und somit der Abstand zweier Punkte ist:
[mm] \wurzel{(-1-s-r)^2+(3+2*s-2*r)^2+(4+2*r)^2}
[/mm]
Nun haben wir hier 2 Unbekannte drin, und genau das ist mein Problem (und meine Lehrerin hat auch gemeint, das wird dein Problem :P)
Könnt ihr mir vielleicht wieterhelfen, wie man bei so einer Funktion f(s,r) =
[mm] \wurzel{(-1-s-r)^2+(3+2*s-2*r)^2+(4+2*r)^2} [/mm] einen Minimalwert rauskriegt, der dann nat, der kleinste Abstand der windschiefen Geraden wäre ???
Vielen Danke schonmal !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 08.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Hermann!
> Meine Mathelehrerin hat mir ein Referat aufgehalst mit
> einer erwünschten Thematik, die wie sie selber zugab, wir
> noch nie behandelt haben... Na klasse.. Und ich bin damit
> absolut überfordert:
>
> Also das Referat geht über den kleinsten Abstand
> windschiefe Geraden und jetzt ACHTUNG:
>
> nicht mithilfe von Normalenvektoren, Ebenen, etc. sondern
> KOMPLETT ANDERS:
>
> sagen wir, wir haben die windschiefen Geraden
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+r*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm]
> h:
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 6 \\ 4}+s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> die Idee ist, den Betrag eines allgemeinen Vektors von
> einem allgemeinen Punkt [mm]P_{1} \varepsilon[/mm] g zu einem
> allgemeinen Punkt [mm]P_{2} \varepsilon[/mm] h zu bestimmen.
>
> Gehn wir also ans Werk:
>
> [mm]P_{1}[/mm] ist eine Punkteschar: [mm]P_{1}[/mm] = (2+r|3+2*r|-2*r)
> [mm]P_{2}[/mm] ist eine Punkteschar: [mm]P_{2}[/mm] = (1-s|6+2*s|4)
>
> [mm]\overrightarrow{P_{1}P_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-1-s-r \\ 3+2*s-2*r \\ 4+2*r}[/mm]
korrigiert
> Und der Betrag des Vektors, und somit der Abstand zweier
> Punkte ist:
>
> [mm]\wurzel{(-1-s-r)^2+(3+2*s-2*r)^2+(4+2*r)^2}[/mm]
Folgefehler auch korrigiert
> Nun haben wir hier 2 Unbekannte drin, und genau das ist
> mein Problem (und meine Lehrerin hat auch gemeint, das wird
> dein Problem :P)
Du könntest jetzt erstmal r festlassen und gucken, bei welchem s sich dann ein Minimum ergibt. Dieses Min. wird eine Fkt. von r sein. Und dann läßt du r variieren
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Erst mal vielen Dank ! Ich hab den Flüchtigkeitsfehler im Ausgangspost beseitigt !
Nun hab ich mithilfe eines Funktionsplotter herausgefunden, dass der kleinste Abstand besteht bei r=-1 und s=-2.
Dann beträgt der Abstand 3.
Sagen wir aber das wüsste ich nicht, und ich würde nach deinem Vorschlag r fest wählen.
r sei 3. Aber dann kann ich ja schon gar nicht mehr die richtige Lösung erhalten... Diese liegt ja bei r=-1
Das kann doch dann nicht der richtige Weg sein !?
Oder hab ich was falsch verstanden ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Fr 08.06.2007 | | Autor: | statler |
> Erst mal vielen Dank ! Ich hab den Flüchtigkeitsfehler im
> Ausgangspost beseitigt !
>
> Nun hab ich mithilfe eines Funktionsplotter herausgefunden,
> dass der kleinste Abstand besteht bei r=-1 und s=-2.
> Dann beträgt der Abstand 3.
>
> Sagen wir aber das wüsste ich nicht, und ich würde nach
> deinem Vorschlag r fest wählen.
>
> r sei 3. Aber dann kann ich ja schon gar nicht mehr die
> richtige Lösung erhalten... Diese liegt ja bei r=-1
So fest ja nun wieder nicht! Ich meinte, r beliebig, aber fest, also als Parameter. Du läßt zunächst das s variabel sein und betrachtest r als feste Größe, die du aber noch nicht kennst.
So ähnlich wie bei Kurvenscharen: y = [mm] x^{2} [/mm] + r. Da ist r zwar variabel, aber für die einzelne Kurve eine feste Größe. Wie wär die Ableitung?
Gruß
Dieter
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Ok, also nehmen wir doch mal dein Beispiel:
y = [mm] x^2+r [/mm] (wobei erst mal beides Variablen sind)
Jetzt mache ich r zum Paramenter. Nun gilt:
y' = 2*x bei x=0 ist also ein Tiefpunkt
jetzt setze ich x=0 in die Ausgangsfunktion ein und lasse r variabel. Dann gilt
y = 0 + r
y' = 1
Dann müsste 1=0 gelten, damit man nun einen Tiefpunkt erhält.
Erhält man in diesem Fall keinen Tiefpunkt der Funktionsschar, weil der Tiefpunkt bei [mm] (0|-\infty) [/mm] liegt ??
Oder hab ich was falsch gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 08.06.2007 | | Autor: | statler |
> Ok, also nehmen wir doch mal dein Beispiel:
>
> y = [mm]x^2+r[/mm] (wobei erst mal beides Variablen sind)
>
> Jetzt mache ich r zum Paramenter. Nun gilt:
>
> y' = 2*x bei x=0 ist also ein Tiefpunkt
>
> jetzt setze ich x=0 in die Ausgangsfunktion ein und lasse r
> variabel. Dann gilt
Dieses Bsp. hatte ich nur hingeschrieben, um anzudeuten, was ein Parameter ist. Aber das weißt du ja offenbar. Hier hängt der x-Wert des Tiefpunktes allerdings überhaupt nicht von r ab.
> y = 0 + r
> y' = 1
>
> Dann müsste 1=0 gelten, damit man nun einen Tiefpunkt
> erhält.
Genau! Und das ist nicht lösbar, also gibt es keinen lokalen Tiefpunkt.
> Erhält man in diesem Fall keinen Tiefpunkt der
> Funktionsschar, weil der Tiefpunkt bei [mm](0|-\infty)[/mm] liegt
> ??
>
> Oder hab ich was falsch gemacht ?
Nein, dein Schluß ist schon richtig. Bei deinen Geraden wird das etwas anders, weil dein s etwas komplizierter von r abhängt. Und da müßte sich ein Minimum ergeben, weil wir doch wissen, daß es eins gibt.
Nun fang mal damit an ...
Dieter
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Hab grad gegessen und das dann probiert. Hat super geklappt, ich hab das selbe Ergebnis wie beim funktionsplotter !!!
Also erst mal thx a lot, dass du das mir so toll erklärt hast !
Jetzt frage ich mich aber noch was. Wir haben ja den allgemeinen Astand zweier allgemeiner Punkte in Form einer Wurzel errechnet.
Sagen wir sie sei [mm] \wurzel{INAHLT}, [/mm] wobei sich der Inhalt aus 2 unbekannten zusammensetzt.
Nun leiten wir diese allgemeine Abstandsfunktion ab und erhalten
[mm] \bruch{(Inhalt)'}{2*\wurzel{INAHLT}}
[/mm]
Sagen wir nun, wir haben keine windschiefen Geraden, sondern Geraden, die sich in einem Punkt schneiden.
Für EINE r/s Kombination ist dann die Abstandsfunktion 0 und hat einen Tiefpunkt (denn sie schneiden sich ja nur in einem Punkt).
für diese r/s kombination haben wir in der ersten Ableitung dann ja aber eine Null im Nenner. So könnte man dann beim Nullsetzen der ersten Ableitung gar nicht auf die r/s Kombination kommen, denn für diese wäre die erste Ableitung ja gar nicht definiert ?!
Funktioniert unsere Methode für solche Geraden also nicht ?
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Hi,
dieses Problem könntest du umgehen. Anstand die Wurzel zu minimieren, kannst du einfach das was unter der Wurzel steht minimieren. Da die Wurzelfunktion monoton steigend ist, wird bleiben Minima erhalten.
Dann müsste du das Problem auch für Geraden lösen können, die sich schneiden.
Grüße,
BertanARG
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Hi Bertanarg !
Deine Idee erschien mir auf den ersten Blick MEGAGENIAL ;)
Dann hab überlegt, wie ich sowas den Leuten in meiner Klasse erklären kann.. Ich mein ich kann schlecht sagen "Ja leute schaut doch mal her das kann man sich doch denken"
Also hab ich versucht das mathematisch zu zeigen und hab gemerkt, äh stimmt das denn überhaupt so ganz ?:
f(x) = [mm] \wurzel{x^2}
[/mm]
Minimalsuche nach herkömmlichem Weg:
f'(x) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2}}
[/mm]
c sei die Minimalstelle, dann gilt
I: 0 = [mm] \bruch{c}{\wurzel{c^2}}
[/mm]
Jetzt nach deiner Methode - minimieren wir nur den Wurzelinhalt. Dann gilt für die Minimalstelle c:
II: 0 = 2*c und somit c=0
setzen wir das in I ein, dürfte sich kein Widerspruch ergeben, denn die erste Methode ist jawohl legitim, und wir gehen davon aus, dass es deine auch ist:
0 = [mm] \bruch{0}{\wurzel{0^2}} [/mm] (oder darf man 0/0 ?)
Tjo irgendwie schon wieder nicht definiert... ?
Also gilt deine Methode doch nicht immer ?
Oder hab ich nene Denkfehler ??
Danke für Hilfe !
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Hi,
in der Tat gibt es bei diesem Vorgehen manchmal Probleme mit Definitionsmengen.
Du musst dir erst einmal überlegen, in welchem Definitionsbereich deine Funktion überhaupt Sinn macht. Da unter der Wurzel deiner ursprünglichen Funktion nur Quadrate vorkommen, kann diese niemals negativ werden. Dadurch ist (r,s) [mm] \in \IR^2 [/mm] zugelassen.
Nehmen wir [mm] f(x)=\wurzel{x^2}. [/mm] Das ist ja im übrigen f*(x)=|x|. Jetzt bekommst du an der Stelle x=0 aber ein Problem mit der Differenzierbarkeit. Denn bei x=0 ist f(x) nicht differenzierbar. Der Grenzwert von links kommend gibt dir eine Geradensteigung von -1, der von rechts eine mit +1.
Deshalb existiert f'(0) nicht. [mm] (\bruch{0}{0} [/mm] ergibt NICHT 0... denk nie wieder dran!  )
Auch bei der normalen Wurzelfunktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] hast du dasselbe Problem. Denn [mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}. [/mm] Für x [mm] \to [/mm] 0 hast du f'(x) [mm] \to \infty.
[/mm]
Die Tangente am Nullpunkte wäre demnach die y-Achse.
In diesem speziellen Fall ist das Minimum der Funktion die Nullstelle der Funktion. Rechne dein Beispiel mal mit [mm] f(x)=\wurzel{x^2+2x}.
[/mm]
Ganz wichtig: Die Extremstelle hat zwar dieselbe x-Koordinate, aber nicht mehr denselben Funktionswert! Ist ja klar wegen des Quadrats. Das wird aber oft übersehen.
Nochmal grob zusammengefasst, ich schreib dir anschließend noch einen mathematischen Beweis, da mich das selbst jetzt auch interessiert hat:
[mm] f(x)=\wurzel{g(x)}, [/mm] wobei g irgendeine Funktion in x ist.
Dann kannst du dieses Vorgehen benutzen, wenn:
[mm] g(x)\ge [/mm] 0 ist, für alle x
(in allen Punkten x, für die dies nicht gelten würde, wäre deine Funktion im übrigen nicht reell definiert, da unter der Wurzel was negatives stünde).
Genauer gehe ich darauf im folgenden Beweis ein.
Grüße,
BertanARG
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Jetzt der ausführliche Beweis,
gegeben ist eine Funktion g(x) mit [mm] g(x)\ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] f(x):=\wurzel{g(x)}
[/mm]
Sei [mm] x_0 [/mm] ein Minimum der Funktion g.
[mm] \Rightarrow g'(x_0)=0, [/mm] und [mm] g''(x_0)>0.
[/mm]
Für f folgt dann:
[mm] f'(x)=\bruch{g'(x)}{2*\wurzel{g(x)}}
[/mm]
ist [mm] g(x_0)=0, [/mm] so ist [mm] x_0 [/mm] bereits ein Minimum von f, da ja [mm] f(x)\ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt, und somit [mm] f(x_0)=\wurzel{0}=0 [/mm] ist [Das war in deinem Beispiel oben der Fall]
ist [mm] g(x_0) \not= [/mm] 0, so ist [mm] f'(x_0)=0, [/mm] weil [mm] g'(x_0)=0 [/mm] ist!
[mm] f''(x)=\bruch{2g''(x)g(x)-(g'(x))^2}{4g(x)\wurzel{g(x)}}
[/mm]
da [mm] g(x_0)>0 [/mm] gilt, ist der Nenner stets positiv! [Im Fall [mm] g(x_0)=0 [/mm] bräuchte ich nämlich die zweite Ableitung gar nicht mehr untersuchen!]
da [mm] g'(x_0)=0 [/mm] und [mm] g''(x_0)>0 [/mm] gemäß der Annahme [mm] x_0 [/mm] sei Minimalstelle, ist auch der Zähler [mm] 2g''(x)g(x)-(g'(x))^2>0.
[/mm]
Damit ist [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)>0, [/mm] und folglich ist [mm] x_0 [/mm] auch eine Minimalstelle der Funktion f.
q.e.d.
Im übrigen:
Wir machen es im Prinzip anders herum. Wir haben [mm] f(x)=\wurzel{g(x)}, [/mm] und minimieren dann [mm] f(x)^2=g(x).
[/mm]
Der Beweis ist aber genauso wie oben, und wegen der einfacheren Ableitungen von [mm] f(x)^2 [/mm] ein wenig schneller.
Ich denke, dass kannst du locker so in der Klasse vortragen. Du musst es nur kurz begründen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Moin Bertanarg !
Bin grad aufgestanden und habs mir schonmal durchgelesen.
Sieht echt klasse aus - ich studiers aber noch mal ab 6 eingehender, weil ich jetzt Clubmeisterschaften hab.
Ich meld mich dann nochmal. Vielen Dank aber schon jetzt !!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 10.06.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
so nachdem ich gestern mir die chanceauf die ersten 2 Plätze im Halbfinale versaut hab, hab ich heute das match und somit den 3ten Platz gewonnen.
Sorry also, dass ich gestern nix mathematisches mehr machen konnte ! Also den Beweis find ich klasse - vielen Dank für die Mühe !!
Bei schneidenden Geraden hat man also kein Problem, weil:
Die Abstandsfunktion wird nur dann 0, wenn das, was unter der wurzel steht 0 wird. Bei 2 sich schneidenden Geraden erhält man bei ableiten der Inneren Funktion also einen Tiefpunkt, der einen Abstand von 0 bei einer bestimmten r/s Kombination zur Folge hat.
Leitet man nicht nur die innere Funktion ab, weil man zb. ncith weiß, dass sich die Geraden schneiden, sondern leitet nach [mm] \bruch{(Inhalt)'}{\wurzel{Inhalt}}, [/mm] ab und multipliziert anschließend mit dem Nenner, so bleibt nur noch die innere Ableitung übrig, und man erhält die r/s Kombination des gewünschten Tiefpunkts. Nun ist bei dieser r/s Kombination zwar der Nenner nicht legitim, und die Tiefpunktbestimmung nach [mm] \bruch{(Inhalt)'}{\wurzel{Inhalt}} [/mm] auch. Aber man hat automatisch auch nur die Inahltsfunktion abgeleitet und nur die daraus hervorgehenden Ergebnisse weiter verwendet, indem man mit dem Nenner multipliziert hat. Dieser nicht legitime Weg enthält also einen legitimen Weg, der letztendlich zu einem legitimen Ergebnis beiträgt.
Deshalb ist es also in jedem Fall legitim zur Tiefpunktbestimmung nur den Wurzelinhalt abzuleiten !
Vielen Dank noch mal an alle !
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Sorry nochmal für den Umstand, aber wie erkläre ich es denn meiner Klasse, dass man beim ableiten nach 2 Variablen nicht einfach beide Variablen aufeinmal ableiten kann ?
Danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 So 10.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Ich hab noch eine andere Idee auf Lager, die ich aber erst so in ca einer Stunde hier posten kann, weil ich gerade andersweitig zu tun habe.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 10.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Hier der Link zu meinem Alternativweg, der auch ohne Ebenen auskommt:
Hier und dann der vorletzte Beitrag von mir.
LG
Kroni
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Ok danke für den Link !
Ich versteh zwar net, warum du die damit auf meine Partialableitungsfrage geantwortest hast, aber wenn wir schon dabei sind, eine Frage zu deinem ersten Weg.
Wie man die beiden Ebenen berechnet hab ich kapiert. Du schreibst
"Nun konstruierst du dir in Gedanken eine zweite Ebene, die Parallel zu dieser ist, und den Stützvektor der zweiten Gerade enthält. Hieraus kannste dann auch den Abstand Ebene Ursprung berechnen, und einmal die Differenz der beiden Abstände bilden."
Und den zweiten Satz versteh ich nicht. Wie kann man den Abstand der Ebenen ohne Normalenvektor bestimmen ?
Gruss, Hermann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Warum ich auf deine Frage geantwortet habe mit den zweifachen Ableiten etc?
Weil das m.E. überflüssig ist, und wir im Mathe LK sowas auch NIE hatten.
Aus welchem Grunde solltest du das dann deinen Mitschülern beibringen sollen.
Gut, wenn das für dich alleine herleitbar wäre, okay, aber es geht wie gesagt auch einfacher.
Die erste Methode, die mein Link dir zeigt, ist mit Hilfe von Hilfsebenen, die du eben nicht benutzen sollst.
Das ist aber auch eine Möglichkeit, die ich evtl. ansprechen soll oder zumindest andeuten, und dann sagen: Es geht auch anders (wie du es offensichtlich machen sollst aufgrund der Vorgabe: OHNE Ebenen!):
Du bildest dir den Differenzvektor zweier allgemeiner Punkte. Sicher kannst du dann nach einem Minimum der Abstandsfunktion suchen, und weiter darüber nachdenken, ich weiß ja auch nicht, in welchem Umfang dein Referat sein soll, aber das einfachste ist doch:
Wenn der Verbindungsvektor sowohl senkrecht auf der einen Geraden als auch auf der anderen Geraden steht, so hast du den kürztesten Verbindungsvektor konstruiert, und das zeigt ja meine Beispielrechnung, die ich damals dort gepostet habe.
Ich wollte dir nur zeigen: Es geht auch anders ohne Differentialrechnung und ohne Ableiten nach zwei Variablen etc.
LG
Kroni.
PS. Wenn ich habe deine Frage nach dem zweifachen Ableiten trotzdem mal wieder auf unbeantwortet gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Achso, du bildest also doch den Normalenvektor, dann ist klar.
Danke trotzdem !
Jetzt bin ich mal gespannt, wie sich das mit dem Ableiten erklären lässt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 12.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi, Bit2_Gosu,
> Meine Mathelehrerin hat mir ein Referat aufgehalst mit
> einer erwünschten Thematik, die wie sie selber zugab, wir
> noch nie behandelt haben... Na klasse.. Und ich bin damit
> absolut überfordert:
>
> Also das Referat geht über den kleinsten Abstand
> windschiefe Geraden und jetzt ACHTUNG:
>
> nicht mithilfe von Normalenvektoren, Ebenen, etc. sondern
> KOMPLETT ANDERS:
>
> sagen wir, wir haben die windschiefen Geraden
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+r*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm]
> h:
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 6 \\ 4}+s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> die Idee ist, den Betrag eines allgemeinen Vektors von
> einem allgemeinen Punkt [mm]P_{1} \varepsilon[/mm] g zu einem
> allgemeinen Punkt [mm]P_{2} \varepsilon[/mm] h zu bestimmen.
>
> Gehn wir also ans Werk:
>
> [mm]P_{1}[/mm] ist eine Punkteschar: [mm]P_{1}[/mm] = (2+r|3+2*r|-2*r)
> [mm]P_{2}[/mm] ist eine Punkteschar: [mm]P_{2}[/mm] = (1-s|6+2*s|4)
>
> [mm]\overrightarrow{P_{1}P_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{-1-s-r \\ 3+2*s-2*r \\ 4+2*r}[/mm]
>
> Und der Betrag des Vektors, und somit der Abstand zweier
> Punkte ist:
>
> [mm]\wurzel{(-1-s-r)^2+(3+2*s-2*r)^2+(4+2*r)^2}[/mm]
>
> Nun haben wir hier 2 Unbekannte drin, und genau das ist
> mein Problem (und meine Lehrerin hat auch gemeint, das wird
> dein Problem :P)
>
> Könnt ihr mir vielleicht wieterhelfen, wie man bei so einer
> Funktion f(s,r) =
> [mm]\wurzel{(-1-s-r)^2+(3+2*s-2*r)^2+(4+2*r)^2}[/mm] einen
> Minimalwert rauskriegt, der dann nat, der kleinste Abstand
> der windschiefen Geraden wäre ???
Wie Du schon bemerkt hast, gibt's hier 2 Unbekannte.
Demnach brauchst Du auch 2 Gleichungen, um das zu lösen.
Wie wäre es, wenn Du die Eigenschaft verwendest, dass das gemeinsame Lot [mm] P_{1}P_{2} [/mm] ja auf beiden Geraden (und damit auf deren Richtungsvektoren) senkrecht steht?
Damit kannst Du dann zumindest eine Unbekannte in Abhängigkeit von der anderen ermitteln (wenn's unbedingt eine Extremwertaufgabe sein soll!) oder auch beide berechnen, wenn Du's als Gleichungssystem lösen möchtest.
(Ansonsten müsstest Du das Ganze wohl als Funktion mit 2 unabhängigen Variablen auffassen und mit partiellen Ableitungen arbeiten!)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Fr 08.06.2007 | | Autor: | powerdir |
Okay dann werd ich dir die Aufgabe mal vorrechnen.
Die lösung ist einfach zwei Hilfebenen aufzstellendiese jehweils mit den Geraden g unh h schneiden und dann hast du die Lotfuspunkte mit dnenen
du den Betrag des Lotvektors berechnen kannst => minimaler Abstand
zwischen den Geraden.
Die Hilfsebenen haben das Kreuzprodukt aus dem Richtungsvektor von g und h als Normalenvektor, und beinhalten jeweils einen PKT von g und h.
Du stellst jetz also erst mal eine Ebene auf die einen Punkt von g enthält, und Das Kreuzprodukt aus dem Richtungsvektor von g und h als Normalenvektor. Diese Ebene schneidest du mit h und erhältst so deinen ersten Lotfusspunkt.
Dann stellst du eine Ebene mit dem gleichen Normalvektor auf aber die beinhaltet einen Punkt von h. Diese Ebene schneidest du dann mit g und erhältst so deinen 2. Lotfusspunkt. Mit den zwei berechneten Punkten dann Vektor aufstellen, Betrag berechnen und fertig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
powerdir, nett für deine Mühe ! Aber hättest du meine allererste Frage richtig gelesen, dann wüsstest du, das das schon easy peasy lemon squeezy klor ist ;)
es ging um einen Alternativen Lösungsweg, der jetzt auch geklappt hat ! Alles im Lot also. Die Frage die jetzt noch offen ist, ist nur eine Bonusfrage aus persönlichem Interesse ;)
Zwerglein, auf dich komm ich noch zurück, ich muss nur erst den anderen Weg abklären.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Bit2_Gosu,
> Zwerglein, auf dich komm ich noch zurück,
Oh! Keine Drohungen bitte! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 10.06.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Aufs Maul ? (ebenfalls mfg, Hermann)
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