Abstand windschiefer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo, der erste Satz unserer Zusammenfassung sagt mir:
"Erzeuge eine Hilfsebene, die die eine Gerade enthält und senkreucht zu beiden Geraden ist."
Ich versuche seit einer halben Stunde, mir das mit Büchen und Stiften bildlich vorzustellen... Also, ich halte zwei Stifte, die windschief zueinander sind. Nun lege ich ein Buch an den ersten Stift, so dass dieses den ganzen Stift abdeckt (liegt in der Ebene). Nun drehe ich das Buch entlang des ersten Stiftes, so dass dieser immer noch in der Ebene liegt, das Buch aber den zweiten Stift schneidet. Jetzt ist dieser Schnitt in meinen Augen nicht senkrecht.
Ich weiss nicht genau, wie man senkrecht definiert in diesem Falle, das ist mein Problem.
Ich habe sogar extra mel ein Foto gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Winjel vom Stift nach oben hin ist ja 90°, wenn man von oben drauf blickt hat man jedoch einen Winkel von etwa 45° vom Stift zur Seite hin.
Ich hoffe, ihr versteht mich - Kann man hier von senkrecht sprechen? Ansonsten halte ich es für unmöglich, eine Ebene zu bilden, die senkrecht zu zwei Geraden sein soll.
Danke
Oli
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 15.04.2007 | | Autor: | G3RM4NY |
Also deine Fragestellung, die ich oben drüber gefunden habe ist schonmal seltsam: "Abstand windschiefer Ebenen"
Ebenen die windschief sind? Sowas gibts nicht! ;)
Ebenen können parallel sein, identisch oder eine Schnittgrade besitzen, windschief ist unmöglich.
"Erzeuge eine Hilfsebene, die die eine Gerade enthält und senkreucht zu beiden Geraden ist" halte ich ebenso für unmöglich, es sei denn beide Geraden sind parallel zu einander, was dann aber schonwieder ausschließt, dass eine der Graden in dieser einen Ebene liegt.
Ich schreib übermorgen meine Abiturprüfung in Mathematik und kann von mir sagen, dass ich in den letzten 2 Jahren noch keine zweite Definition von SENKRECHT hatte.
Wer hat die Aufgabe gestellt? ;) Vielleicht ist die Quelle fehlerhaft...
Oder gibt es vielleicht 3 Graden und mehr???
Gruß,
G3RM4NY
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
sorry, meinte natürlich Abstand windschiefer Geraden, bin noch ein bisschen müde :D
Aber rein mathematisch gedacht:
Ich habe die beiden Richtungsvektoren a und b der Geraden - Dann ist die Ebene mit Richtungsvektoren a und axb zum einen senkrecht zu beiden Geraden (da axb zu beiden senkrecht ist) und Gerade a wird zum anderen durch die Ebene eingeschlossen.
Oder habe ich da einen Denkfehler?
Zum Bild - Also ist die Ebene (Geodreieck) da nicht senkrecht zur Geraden (Stift)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du musst das ganze so ansetzten:
Du hast zwei Geradengleichungen vorgegeben, die windschief sind.
Nun Konstruierst du eine Ebene, die eine Gerade enthält, und zur zweiten parallel ist (die also auch den Richtungsvektor der zweiten Geraden enthält).
Dann Kannst du wieder mit "Abstand Punkt Ebene" arbeiten.
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
mein Weg muss definitiv auch gehen, den haben bisher alle Klassen auf unserer Schule so gelernt...
"Erzeuge Hilfsebene, die eine Gerade enthält und senkrecht zu beiden Geraden ist. Diese Ebene geschnitten mit der anderen Gerade ergibt einen der Punkte, die sich am nächsten liegen."
Der Weg geht auch auf und es kommt auch die richtige Lösung raus. Eine Gerade kann doch auch senkrecht zu zwei anderen sein, warum dann eine Ebene nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Forderung
a) Die Ebene soll die eine Gerade enthalten
b) Die Ebene soll senkrecht zu beiden Geraden sein, sprich: Die Ebene soll senkrech zu der Geraden sein, die sie enthält.
Wie soll das gehen?
Sláin,
KRoni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Das ist mein Problem - Was genau heißt senkrecht? Welcher Winkel muss genau 90° sein? ALLE Winkel, an denen die Gerade die Ebene trifft? Also sowohl von oben als auch seitlicj betrachtet alles 90°?
Ist eine Gerade etwa nicht senkrecht zu einer Ebene, wenn einer der Richtungsvektoren der Ebene zum Richtungsvektor der Gerade senkrecht ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Ok, habs mal mit dem anderen hier beschriebenen Weg versucht!
Ist das richtig so?
Ebene mit Aufpunkt von Gerade 1 und Richtungsvektor von Gerade 1 und Richtungsvektor von Gerade 2 bilden.
Ebene in HNF umwandeln.
Abstand von Ebene zu Aufpunkt von Gerade 2 berechnen.
Wie bekomme ich denn mit diesem Weg raus, welche Punkte das genau sind, die sich am nächsten liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Überlegung passt soweit.
Wenn du eine Ebene hast, die eine Gerade enthält, und den Richtungsvektor der zweiten Geraden ebenfalls enthält, so ist die Ebene Parallel zur Geraden.
Aus diesem Fakt kannst du einfach irgendeinen Punkt der Geraden wählen, und den Abstand von irgendeinem Punkt zur Ebene berechnen.
Da ja die Gerade prallel zur Ebene liegt, hat jeder Punkt der Geraden den selben Abstand zur Ebene.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
habe doch noch eine zweite Frage gestellt - Wie kann ich mit dieser Methode herausfinden, WELCHE Punkte sich am nähesten liegen? Ist ja auch oft gefragt..
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wie meinst du das genau?
Meinst du das z.B. mit Flugbahnen, wo man dann fragt, zu welchem Zeitpunkt sich die beiden Flugzeuge am nächsten sind?
Oder was meinst du damit genau?
Sláin,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Man rechnet ja einen Abstand zwischen zwei Punkten aus - Jedoch kann ich mit obigen Rechenweg nicht die Koordinaten der Punkte herausfinden.
Ja - genau solche Aufgaben wie mit Flugzeugen meine ich!
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mit der obigen "Formel" bzw. Vorgehensweise bestimmst du ja den Abstand zweier windschiefer Geraden.
Dabei steht dann ja der Verbindungsvektor, dessen Länge man als Abstand sehen kann, sowohl senkrecht auf der einen Gerade als auch senkrecht auf der anderen (vlt. meintest du ja das Vorhin mit dem senkrecht. Heißt in einem Buch auch irgendwo Methode des laufenden Punktes).
Was du aber meinst, mit den Flugzeugen, ist meist so etwas:
Zwei Geraden schneiden sich.
der Paraemter der Geradengleichung gibt dann die Zeit an.
Dann hast du z.B. die Gleichung
g: [mm] \vec{x_1}=\vektor{0\\0\\1}+t*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
h: [mm] \vec{x_2}=\vektor{1\\2\\4}+t*\vektor{5\\7\\9}\ [/mm] oder so, habe das ganze jetzt mal frei ausgewählt.
Hier sieht man, dass sich die beiden Geraden schneiden.
Wenn du jetzt den Zeitpunkt suchen willst, an dem die Flugzeuge den geringsten Abstand haben, so musst du den Verbindungsvektor von [mm] x_1 [/mm] zu [mm] x_2 [/mm] herstellen.
Das machst du, indem du die beiden Geradengleichungen voneiander abziehst.
Dann kannst du den Verbindungsvektor aufschreiben, der dann noch in allen drei Komponenten das "t" enthält.
Nun bildest du den Betrag des Vektors, und sagst, dass dieser Betrag (iwas mit ner Wurzelfunktion) minimal werden soll.
Nun gehst du mit Hilfe der Differentialrechnung an die Abstandsfunktion, und guckst, wo diese FUnktion einen Tiefpunkt hat.
Das t, welches du dann da herausbekommst, steht für die Zeit, an der die beiden Flugzeuge am dichtesten beieinander sind.
Als Aufgabe kann ich dir folgende empfehlen:
![[]](/images/popup.gif)
Aufgabe 21
Hiervon bitte Aufgabe 21 "Bert Bruch".
DIe Lösungen hierzu gibt es dort:
bitte
LG,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Sorry, aber dann meinte ich es doch anders (dennoch danke, die Aufgabe werde ich auf jeden Fall mal rechnen!!).
Ich meine definitiv zwei windschiefe Geraden.
Nun möchte ich wissen, an welchen beiden Punkten sich die beiden Geraden am nächsten kommen. Den Abstand dabei kenne ich ja schon, jedoch nicht die beiden Punkte, an denen der Abstand erreicht ist.
Beispiel einer Anwendungsaufgabe:
Eine Brücke führt über einen Fluss - Wie hoch ist die Durchfahrtshöhe am niedrigstens Punkt (der Winkel sei 90°, die kleine Steigung der Brücke sei vernachlässigbar).
Schlechtes Beispiel, aber ich denke, du weisst, was ich meine.
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wie wäre es mit der Überlegung:
Man hat zwei windschiefe Geraden.
Gesucht: die Punkte, die den geringsten Abstand zueinander haben.
Man "bastelt" sich den Verbindungsvektor von zwei Punkten der Geraden allgemein, indem man die beiden Geradengleichungen subtrahiert.
Nun stellt man die Forderung an diesen Verbindungsvektor, dass dieser sowohl senkrecht auf der einen Geraden stehen soll als auch senkrecht auf der anderen.
Dann hast du ein LGS mit zwei unbekannten und zwei Gleichungen.
Dieses löst du dann auf, und hast damit dann die beiden Punkte, die den geringsten Abstand der Windschiefen geraden bilden.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi, könntest du das vielleicht mal anhand eines Beispiels vorrechnen? Wär super, danach lass ich dich auch in Ruhe :)
Am besten am Beispiel:
[mm] \vector{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vector{x}=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+t*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
, da ich es an diesem schon mit der ominösen ersten Methode gemacht habe und auch ein schlüssiges Ergebnis rausbekam...
Vielen Dank
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also, die erste Methode ist diese:
[mm] \vec{x_1}=\vektor{1\\0\\2}+s\vektor{1\\3\\-1}
[/mm]
[mm] \vec{x_2}=\vektor{0\\2\\1}+t\vektor{-2\\1\\1}
[/mm]
Hieraus stellst du eine Ebenegleichung auf:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\0\\2}+s\vektor{1\\3\\-1}+t\vektor{-2\\1\\1}
[/mm]
Diese enthält die erste Gerade und hat ebenfalls den Richtungsvektor der zweiten Gerade, ist also parallel zur zweiten Geraden.
E in Koordinatenform sieht so aus:
E: [mm] 4x_1+x_2+7x_3-18=0
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{\wurzel{66}}(4x_1+x_2+7x_3)-\bruch{18}{\wurzel{66}}=0 [/mm] (HNF)
Nun konstruierst du dir in Gedanken eine zweite Ebene, die Parallel zu dieser ist, und den Stützvektor der zweiten Gerade enthält. Hieraus kannste dann auch den Abstand Ebene Ursprung berechnen, und einmal die Differenz der beiden Abstände bilden.
Das sieht dann so aus:
[mm] d=|\bruch{18}{\wurzel{66}}-\bruch{1}{\wurzel{66}}*\vektor{4\\1\\7}*\vektor{0\\2\\1}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{18}{\wurzel{66}}-\bruch{9}{\wurzel{66}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{3\wurzel{66}}{22}
[/mm]
___________________________________________________________
Nun die zweite Methode:
Man bildet den allgemeinen Verbindungsvektor von der ersten Geraden und der zweiten Geraden:
[mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}=\vektor{1+s+2t\\0+3s-2-t\\2-s-1-t}=\vektor{s+2t+1\\3s-t-2\\-s-t+1}
[/mm]
Dieser Verbindungsvektor soll nun sowohl senkrecht zum Richtungsvektor der einen Geraden sein, als auch senkrecht zum Richtungsvektor der anderen Geraden:
[mm] \vektor{s+2t+1\\3s-t-2\\-s-t+1}*\vektor{1\\3\\-1}=0
[/mm]
[mm] \vektor{s+2t+1\\3s-t-2\\-s-t+1}*\vektor{-2\\1\\1}=0
[/mm]
Dieses LGS führt dich dann dazu:
s+2t+1+9s-3t-6+s+t-1=0
-2s-4t-2+3s- t-2-s-t+1=0
Ergibt dann aufgelöst:
s=6/11
t=-0,5
Daraus ergibt sich der Verbindungsvektor
[mm] \vec{v}=\vektor{17/11\\18/11\\16/11}
[/mm]
und
[mm] |\vec{v}|=\wurzel{\bruch{27}{22}}=\bruch{3\wurzel{66}}{22}
[/mm]
Dies ist dann also auch der selbe Abstand wie oben, welches ja auch sein muss.
Nun, mit dieser letzten Methode bekommst du dann auch noch die Punkte heraus, welche den geringsten Abstand zueinander haben:
[mm] \vec{x_1}=\vektor{17/11\\18/11\\16/11} [/mm] und
[mm] \vec{x_2}=\vektor{1\\1,5\\0,5}
[/mm]
Jetzt alles klar?
Schönen Abend noch, ich werde mich jetzt mal ein wenig nach draußen setzten*g*
Sláin,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hey, vielen vielen Dank, hab alles verstanden :)
Genau dieselben Ergebnisse habe ich mit meiner ersten Methode, die ihr ja abgestritten habt, auch raus... Also scheint das ja doch zu funktionieren, auch wenn es (logisch gedacht) nicht zu realisieren ist eigentlich...
Danke nochmal
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 So 15.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
könntest du mir sagen, wie du das gerechnet hast?
Dann kann ich dir sagen, wie die Methode eigentlich ginge*g*
Weil nach deiner Beschreibung geht das ja nunmal nicht.
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:36 So 15.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo, also zuerst Berechnung des Normalenvektors (senkrecht zu g und h):
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -1}\times\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}=\vektor{4 \\ 1 \\ 7}
[/mm]
Dann ist die Hilfsebene F laut meinem Lehrer senkrecht zu BEIDEN Geraden:
[mm] F:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 3 \\ -1}+r*\vektor{4 \\ 1 \\ 7}
[/mm]
Nun schneide ich F mit h und erhalte den ersten am kürzesten entfernten Punkt auf h (muss ich jetzt nicht mehr erläutern, oder?) mit t=-0,5 und Schnittpunkt (1|1,5|0,5).
Nun ist gerade s senkrecht zu g und h und startet führt durch den am kürzesten entfernten Punkt auf h und somit auch durch den am kürzesten entfernten Punkt auf g:
[mm] s:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1,5 \\ 0,5}+u*\vektor{4 \\ 1 \\ 7}
[/mm]
Schneiden von s mit g ergibt den am nächsten gelegenen Punkt auf g mit s=6/11 und Schnittpunkt (17/11|18/11|16/11).
Bitte um Rückmeldung ;)
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 17.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi, oli,
> Das ist mein Problem - Was genau heißt senkrecht? Welcher
> Winkel muss genau 90° sein? ALLE Winkel, an denen die
> Gerade die Ebene trifft? Also sowohl von oben als auch
> seitlich betrachtet alles 90°?
Richtig!
Schweiß mal einen Draht (=Gerade) senkrecht auf ein flaches Blech (=Ebene).
Du kannst den Winkelmesser (Geodreieck) überall an die Gerade anlegen: mit der Ebene gibt's immer einen rechten Winkel!
> Ist eine Gerade etwa nicht senkrecht zu einer Ebene, wenn
> einer der Richtungsvektoren der Ebene zum Richtungsvektor
> der Gerade senkrecht ist?
Das reicht nicht! Wenn Du den oben beschriebenen Draht "schräg" an die Ebene anschweißt und dann das Geodreieck richtig zwischen Gerade und Ebene legst, findest Du auf jeden Fall eine Linie (=Richtungsvektor) in der Ebene, mit der die Gerade einen rechten Winkel bildet!
Wenn aber die Gerade auf zwei verschiedenen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht, dann steht sie auf der ganzen Ebene senkrecht!
mfG!
Zwerglein
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