Punktprobe

Wann liegt ein Punkt D auf einer durch A, B, C gegebenen Ebene?

Gegeben seien  A (-1|2|2) mit dem Ortsvektor , B (-4|6|3), C (2|-2|5).
Diese drei Punkte bilden also eine Ebene:

Wenn nun ein Punkt D auf dieser Ebene liegen soll, müssen seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen,
das bedeutet, es muss zwei reelle Zahlen r, s geben, so dass gilt:

die letzte Gleichung kann man auch so beschreiben: der Vektor muss sich aus den beiden anderen Vektoren linear kombinieren lassen oder durch eine Linearkombination beschreiben lassen.

Konkret mit D(-7|10|0):

Die Komponenten fasst man zusammen und schreibt das Ganze als lineares Gleichungssystem auf:
-6 = r * (-3) + s*3
8 = r * 4 + s *(-4)
-2 = r *1 + s*3

Dieses LGS läßt sich lösen mit r=1 und s=-1 der Punkt D liegt auf der durch A,B,C bestimmten Ebene.

Hätte man statt dessen den Punkt (7|10|0) geprüft:

8 = r * (-3) + s*3
8 = r * 4 + s *(-4)
-2 = r *1 + s*3

aus den unteren beiden Gleichungen hätte sich wieder r=1 und s=-1 ergeben, weil sich dort ja nichts verändert hat.
Aber die "Probe" mit der ersten Gleichung
8 = -3 -3 wäre nicht aufgegangen dieser Punkt läge nicht auf der Ebene.