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Poisson-Verteilung
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Poisson-Verteilung

Definition Poisson-Verteilung


Schule

Eine Zufallsvariable X heißt Poisson-verteilt zum Parameter $ \alpha $, $ \alpha>0 $, wenn

$ P(X=k)=\mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!} $

für alle $ k=0,1,2,\ldots $

Siehe auch [link]Wikipedia


Universität

Für jedes $ \alpha\in\IR, \alpha>0 $ definiert

$ \pi_\alpha:=\summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!}\varepsilon_k $

eine diskrete Verteilung auf $ \mathcal{B}^1 $. Man nennt $ \pi_\alpha $ Poisson-Verteilung zum Parameter $ \alpha $.


Für eine Poisson-verteilte Zufallsvariable X gilt:

$ E(X)=\alpha $ (Erwartungswert)
$ V(X)=\alpha $ (Varianz)

Beweis.
$ \pi_\alpha $ ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, da $ \mathrm{e}^\alpha=\summe_{k=0}^\infty \bruch{\alpha^k}{k!}\ \Rightarrow\ \summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!}=1 $ für $ \alpha>0 $

$ \begin{array}{rcl} E(X) & = & \summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!}\cdot{}k \\ & = & \alpha\cdot{}\summe_{k=1}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k-1}}{(k-1)!} \\ & = & \alpha\cdot{}\summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k}}{k!} \\ & = & \alpha\cdot{}1 \\ & = & \alpha \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} E(X^2) & = & \summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!}\cdot{}k^2 \\ & = & \summe_{k=1}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^k}{k!}\cdot{}k^2 \\ & = & \alpha\cdot{}\summe_{k=1}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k-1}}{(k-1)!}\cdot{}k \\ & = & \alpha\cdot{}\summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k}}{k!}\cdot{}(k+1) \\ & = & \alpha\cdot{}\left(\summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k}}{k!}\cdot{}k+\summe_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-\alpha} \bruch{\alpha^{k}}{k!}\right) \\ & = & \alpha\cdot{}(E(X)+1) \\ & = & \alpha\cdot{}(\alpha+1) \\ \end{array} $

$ \Rightarrow\ V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\alpha\cdot{}(\alpha+1)-\alpha^2=\alpha $


Literatur

isbn3110172364

Erstellt: Sa 14.04.2007 von Frusciante
Letzte Änderung: Sa 14.04.2007 um 14:59 von Frusciante
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