Ordnung eines Gruppenelements
!!Definition ''Ordnung eines Gruppenelements'
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Die Ordnung der von einem Element  einer Gruppe  erzeugten zyklischen Untergruppe  heißt die Ordnung von . Sie wird oft mit  bezeichnet:
 .
Zum Beispiel hat jedes Element in  eine unendliche Ordnung, hingegen gilt:
 für  .
Betrachtet man eine zyklische Untergruppe  für ein Element einer Gruppe , dann sind entweder sämtliche Potenzen von verschieden und hat unendliche Ordnung, oder es gibt  ,  mit  . Hieraus folgt:
 für  ,
d.h. es gibt eine natürliche Zahl  mit  . Es sei  die kleinste positive Zahl mit  . Dann sind in  alle Elemente voneinander verschieden (wegen der Minimalität von ). Wegen ist  multipilkativ abgeschlossen, d.h. es gilt:  . Da endlich ist, folgt daraus bereits, dass eine Untergruppe von ist. Man hat zudem  .
Es folgt:
Die Ordnung von  ist unendlich oder gleich der kleinsten positiven Zahl mit . Hat die (endliche) Ordnung , dann ist
 .
Es gilt in diesem endlichen Fall genau dann, wenn ein Vielfaches von ist, also  .
Für alle mit  und alle  gilt:
 .
Quelle: isbn3446130799
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