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Nullstellenbestimmung
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Nullstellenbestimmung

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion der Form $ p(x)=a_n\cdot{}x^n+a_{n-1}\cdot{}x^{n-1}+\ldots+a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $.

Gesucht sind die Nullstellen, also die Werte für x, so dass p(x)=0 gilt.

Leider gibt es nur für bestimmte ganzrationale Funktionen explizite Lösungsverfahren für das Nullstellenproblem; diese werden im Folgenden vorgestellt.



Konstante Funktionen (Grad 0; $ p(x)=a_0 $)

haben entweder keine Nullstelle ($ a_0 \ne 0 $)

oder sind überall Null ($ a_0 = 0 $)


Lineare Funktionen (Grad 1; $ p(x)=a_1\cdot{}x+a_0 $)

haben max. eine Nullstelle.

Wenn sie die Steigung $ a_1=0 $ haben und nicht durch den Ursprung verlaufen, haben sie keine Nullstelle.

Quadratische Funktionen (Grad 2; $ p(x)=a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $)


Mitternachtsformel

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form:

$ 0=a_2\cdot{}x^2+a_1\cdot{}x+a_0 $

lauten (sofern die Ausdrücke definiert sind)

$ x_1=\bruch{-a_1 + \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $

und

$ x_2=\bruch{-a_1 - \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=\bruch{-a_1 \pm \wurzel{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} $.


p/q-Formel

Die Lösung(en) einer quadratrischen Gleichung der Form
$ x^2+px+q=0 $ lauten (sofern die folgenden Ausdrücke definiert sind):
$ x_1=-\bruch{p}{2}+\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $
und
$ x_2=-\bruch{p}{2}-\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left( \bruch{p}{2} \right)^2-q} $.


Quadratische Ergänzung

Eine Quadratische Ergänzung nennt man die Erweiterung eines Terms der Form

$ x^2+px $

zu einer binomischen Formel:

$ x^2+px+\underbrace{\left( \bruch{p}{2}\right)^2}_{\mbox{quadratische Ergänzung}} = \left( x + \bruch{p}{2} \right)^2 $


Satz des Vieta

Gegeben sei eine quadratische Funktion $ f(x)=x^2+px+q $

Gesucht seien die Nullstellen $ x_{1,2} $

Dann gilt:

$ f(x) = (x-x_1)(x-x_2)=0 $


mit $ p = -(x_1+x_2) $ und $ q=x_1\cdot{}x_2 $


Effektivere Behandlung von Spezialfällen


Ganzrationale Funktionen höheren Grades (Grad $ \ge 3 $)

siehe auch:
kubische Gleichung
[link]Cardano-Formel

[link]FH Lüneburg


Polynomdivision


Horner-Schema


Numerische Verfahren

Erstellt: Fr 27.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 12.09.2006 um 16:18 von informix
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