Krümmung

Bei Kurven in der Ebene kann man von der Krümmung sprechen:

Gerade:    Linie ohne Krümmung

Kreis:       Kurve mit konstanter Krümmung

Je kleiner der Radius des Kreises, umso stärker ist er gekrümmt.
So kommt man zur

Definition:
                 Die Krümmung eines Kreises ist der reziproke Wert seines Halbmessers:   
                 Die Krümmung einer Geraden ist gleich null:   k=0

Allgemeinere Kurven:     

Bei anderen Kurven kann die Krümmung von Punkt zu Punkt variieren. Um trotzdem zu einem (lokalen) Krümmungsbegriff zu kommen, nähert man die Kurve in der Umgebung eines Kurvenpunktes  P  auf die beste mögliche Weise durch einen Kreis, den "Schmiegekreis" oder "Krümmungskreis" an. Dessen Radius  r  ist der Krümmungsradius der Kurve im Punkt  P , und dessen Kehrwert

ist die Krümmung der Kurve im Punkt  P (bzw. deren Betrag; siehe "Vorzeichen der Krümmung").  Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist "Krümmungsmittelpunkt". Er liegt auf der im Kurvenpunkt  P errichteten Kurvennormalen.

Zur Berechnung der Krümmung benützt man die Differentialrechnung. Ist die Kurve durch eine Funktionsgleichung   y=f(x)   gegeben, so berechnet sich die Krümmung nach der Formel

Aus der Formel ist auch ersichtlich, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit die Krümmung definiert ist:  f muss zweimal differenzierbar sein.

Vorzeichen der Krümmung:

Diese Formel liefert je nach dem Vorzeichen von   auch ein Vorzeichen für die Krümmung. Dabei bedeutet ein positives Vorzeichen, dass der Krümmungsmittelpunkt oberhalb des Kurvenpunktes  P  liegt und die Kurve im Punkt  P  linksgekrümmt ist. Negatives Vorzeichen entspricht einer Rechtskrümmung.

Krümmung bei Flächen:

Der Krümmungsbegriff kann auch auf Flächen und höherdimensionale Gebilde erweitert werden. So ist z.B. die Kugelfläche eine Fläche konstanter Krümmung im Raum  .

   
Weiteres siehe bei    Wikipedia: Krümmung