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Grenzwertsatz

Satz

Sind zwei Folgen $ (a_n) $ und $ (b_n) $ konvergent und haben sie die Grenzwerte $ a $ und $ b $, so sind auch Summe und Differenz sowie das Produkt der beiden Folgen konvergent.


$ \lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n \pm \lim_{n \to \infty}b_n = a \pm b $


$ \lim_{n \to \infty}(a_n \cdot{} b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n \cdot{} \lim_{n \to \infty}b_n = a \cdot{} b $


Gilt darüber hinaus, dass alle $ b_n \ne 0 $ und auch $ b}\ne 0 $ sind, dann ist auch die Quotientenfolge $ \left( \bruch{a_n}{b_n}\right) $ konvergent:

$ \lim_{n \to \infty}\left(\bruch {a_n} {b_n}\right) = \bruch{\limes_{n \to \infty}a_n}{\limes_{n \to \infty}b_n} = \bruch{a} {b} $

Beispiel:

$ a_n = \bruch{4n^2 + 17}{3 n^2+n} = \bruch{4 + \bruch{17}{n^2}}{3+\bruch{1}{n}} $

$ \left(\bruch{17}{n^2}\right) $ und $ \left( \bruch{1}{n}\right) $ sind Nullfolgen.
$ (4) $ und $ (3) $ sind konstante Folgen mit den Grenzwerten $ 4 $ bzw. $ 3 $.

Daher gilt: $ \lim_{n \to \infty}(a_n) = \bruch{4+0}{3+0}= \bruch{4}{3} $


Erstellt: Fr 01.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Sa 16.12.2006 um 14:05 von Loddar
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