www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial_A19
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A19

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 19


Aufgabe:

Seien $ f\colon\IR\to\IR $ und $ g\colon\IR\to\IR $ monoton steigende Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktion $ h\colon\IR\to\IR,\;h(x)=g(f(x)) $ monoton steigend ist.


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
eine Funktion $ g\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ monoton steigend, d.h. $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
$ g\ $ monoton steigend, d.h. $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
die Funktion $ h\colon\IR\to\IR,\;h(x)=g(f(x)) $
Zu zeigen:
$ h\ $ monoton fallend, d.h. $ h(x_1)\le h(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahlen $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ und wollen $ h(\widetilde{x_1})\le h(\widetilde{x_2}) $ zeigen.

Wegen $ h(\widetilde{x_1})=g(f(\widetilde{x_1})) $ und $ h(\widetilde{x_2})=g(f(\widetilde{x_2})) $ ist also $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $ zu zeigen.

Stellen wir zunächst eine Beziehung zwischen $ f(\widetilde{x_1}) $ und $ f(\widetilde{x_2}) $ her: Da $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, folgt insbesondere $ f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2}) $.

Das wiederum können wir ausnutzen, um zur gewünschten Ungleichung $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $ zu gelangen: Da $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, folgt insbesondere $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $.


Lösungsvorschlag:

Zu zeigen ist, dass $ h\ $ monoton fallend ist, d.h. dass $ h(x_1)\le h(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt.
Seien also $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ reelle Zahlen mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $. Zu zeigen ist $ h(\widetilde{x_1})\le h(\widetilde{x_2}) $.
Da $ f\ $ monoton steigend ist, gilt $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2}) $.
Da $ g\ $ monoton steigend ist, gilt $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $.
Also $ h(\widetilde{x_1})=g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2}))=h(\widetilde{x_2}) $, was zu zeigen war.

Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 06:17 von tobit09
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]