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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A18

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 18


Aufgabe:

Sei $ f\colon\IR\to\IR $ eine monoton fallende Funktion. Seien $ a\ $ und $ b\ $ reelle Zahlen. Zeige, dass auch die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $ monoton fallend ist.


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ monoton fallend, d.h. $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $
Zu zeigen:
$ g\ $ monoton fallend, d.h. $ g(x_1)\ge g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahlen $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ und wollen $ g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2}) $ zeigen.

Wegen $ g(\widetilde{x_1})=f(\widetilde{x_1}-a)+b $ und $ g(\widetilde{x_2})=f(\widetilde{x_2}-a)+b $ ist also $ f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b $ zu zeigen.

Um eine Beziehung zwischen $ f(\widetilde{x_1}-a) $ und $ f(\widetilde{x_2}-a) $ herzustellen, wollen wir die Voraussetzung, dass $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, auf $ \widetilde{x_1}-a $ und $ \widetilde{x_2}-a $ anwenden. Tatsächlich sind beides reelle Zahlen und wegen $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ gilt auch $ \widetilde{x_1}-a\le\widetilde{x_2}-a $. Also erhalten wir $ f(\widetilde{x_1}-a)\ge f(\widetilde{x_2}-a) $.

Nun folgt unmittelbar die gewünschte Ungleichung $ f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b $.


Lösungsvorschlag:

Zu zeigen ist, dass $ g $ monoton fallend ist, d.h. dass $ g(x_1)\ge g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt.
Seien also $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ reelle Zahlen mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $. Zu zeigen ist $ g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2}) $.
Aus $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ folgt $ \widetilde{x_1}-a\le\widetilde{x_2}-a $.
Da $ f\ $ monoton fallend ist, gilt $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ f(\widetilde{x_1}-a)\ge f(\widetilde{x_2}-a) $.
Es folgt $ g(\widetilde{x_1})=f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b=g(\widetilde{x_2}) $, was zu zeigen war.

Erstellt: Sa 12.10.2013 von tobit09
Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 06:13 von tobit09
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