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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A17

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 17


Aufgabe:

Sei $ f\colon\IR\to\IR $ eine gerade Funktion. Zeige, dass dann auch die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=-3\cdot f(x) $ gerade ist.


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ gerade, d.h. $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.
die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=-3\cdot f(x) $
Zu zeigen:
$ g\ $ gerade, d.h. $ g(-x)=g(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahl $ \widetilde{x} $ und wollen $ g(-\widetilde{x})=g(\widetilde{x}) $ zeigen.

Es gilt $ g(-\widetilde{x})=-3\cdot f(-\widetilde{x}) $ und $ g(\widetilde{x})=-3\cdot f(\widetilde{x}) $; also ist $ -3\cdot f(-\widetilde{x})=-3\cdot f(\widetilde{x}) $ zu zeigen.

Bringen wir nun die gegebene Aussage, dass $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $ gilt, ins Spiel: Da $ \widetilde{x} $ eine reelle Zahl ist, gilt somit insbesondere $ f(-\widetilde{x})=f(\widetilde{x}) $.

Also wie gewünscht $ -3\cdot f(-\widetilde{x})=-3\cdot f(\widetilde{x}) $.


Lösungsvorschlag:

Sei $ \widetilde{x} $ eine beliebig vorgegebene reelle Zahl.
Da $ f\ $ gerade ist, gilt $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.
Insbesondere gilt dies für unsere reelle Zahl $ \widetilde{x} $, also $ f(-\widetilde{x})=f(\widetilde{x}) $.
Es folgt $ g(-\widetilde{x})=-3\cdot f(-\widetilde{x})=-3\cdot f(\widetilde{x})=g(\widetilde{x}) $.
Da $ \widetilde{x} $ beliebig vorgegeben war, gilt somit $ g(-x)=g(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.
Also ist $ g\ $ gerade.

Letzte Änderung: So 29.09.2013 um 05:31 von tobit09
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