- Förderverein -

Der Förderverein. Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Impressum

Forenbaum

VH e.V.

Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Suchen
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Argumentbestimmung_komplexer_Zahlen

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Argumentbestimmung komplexer Zahlen

Die Argumentbestimmung komplexer Zahlen der Form $z=x+y\cdot i$ kann anhand nachfolgend aufgeführten Ansätzen erfolgen:

$\text{1}.\qquad x>0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}$

$\text{2}.\qquad x<0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x}$

$\text{3}.\qquad x<0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x}$

$\text{4}.\qquad x>0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}$

Der Hauptwert liegt immer zwischen $-\pi\le\varphi\le\pi$ bzw. $0\le\varphi\le2\pi$

Beispiele

Zu 1. $\qquad \blue{x>0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}}$

$\mathbf{Mit}\ z=5+8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac85\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac85\right)\approx1,102$

$\mathbf{Mit}\ z=2+3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac32\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac32\right)\approx0,983$

Zu 2. $\qquad \blue{x<0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x}}$

$\mathbf{Mit}\ z=-5+8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi-\pi)= \frac8{-5}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac85\right)+\pi\approx2,129$

$\mathbf{Mit}\ z=-2+3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi-\pi)= \frac3{-2}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac32\right)+\pi\approx2,158$

Zu 3. $\qquad \blue{x<0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x}}$

$\mathbf{Mit}\ z=-5-8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi+\pi)= \frac{-8}{-5}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac85\right)-\pi\approx-2,129$

$\mathbf{Mit}\ z=-2-3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi+\pi)= \frac{-3}{-2}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac32\right)-\pi\approx-2,158$

Zu 4. $\qquad \blue{x>0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}}$

$\mathbf{Mit}\ z=5-8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac{-8}5\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac85\right)\approx-1,102$

$\mathbf{Mit}\ z=2-3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac{-3}2\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac32\right)\approx-0,983$

Weitere Anmerkungen

Alle Winkelangaben erfolgten in der Einheit "RAD". Für die Umrechnung des Winkels $\varphi$ in "DEG" besteht die Beziehung:

$\frac\varphi{2\pi}=\frac x {360}$

Sollte generell ein positiver Drehwinkel gefordert sein, so ist der Wert $2\pi$ bzw. 360° zu den negativen Argumenten zu addieren.

$z=5-8i\ \gdw\ z\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{-1,012}\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{-1,012+2\pi}\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{5,271}$

Übersicht MatheBank

Erstellt: Di 08.12.2009 von Herby

Letzte Änderung: So 25.05.2014 um 13:09 von Herby

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

ev.vorhilfe.de[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]