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Lineare Algebra I/II, Vorkurs,www.matheraum.de
Lineare Algebra
Aufgabenblatt 5
Abgabe: So 18.03.2012 19:00		11.03.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Buch "Lineare Algebra" von Gerd Fischer bzw. auf das Inhaltsverzeichnis, das in der Kursbeschreibung zu finden ist. Die Übungsaufgaben (i.d.R. zu immer einem neuen Kapitel im Buch) können bequem in einer Woche gelöst werden.
Aufgabe 1
V-1: Sei V ein K-VR und $ B=(v_{1},...,v_{n}) $ ein System von Vektoren aus V. Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:
(i) B ist eine Basis von V.
(ii) B ist maximal linear unabhängig.
(iii) B ist ein minimales Erzeugendensystem.
(iv) Jeder Vektor v aus V gestattet eine eindeutige Darstellung durch Vektoren aus B.
Aufgabe 2
V-2: Bestimmen Sie die Menge T aller t aus $ \IR $ derart, dass $ v_{1} $ = $ \vektor{1 \\ 3 \\ 4} $ , $ v_{2}=\vektor{3 \\ t \\ 11} $ und $ v_{3}=\vektor{-1 \\ -4 \\ 0} $ ein Erzeugendensystem von $ \IR^{3} $ bildet.
Aufgabe 3
V-3: a) Zeigen Sie: Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines VR V kann man eine Basis auswählen!
b) Zeigen Sie: Alle Basen eines VR V haben die gleiche Dimension.
c) Bildet V = $ span(\vektor{1 \\ 0 \\ i \\ 0}, \vektor{i \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ i \\ 0 \\ i}, \vektor{0 \\ 0 \\ i \\ 0}) $ einen VR über $ \IC $ ? Wenn ja, bestimmen Sie eine Basis !
Aufgabe 4
V-4: a) Zeigen Sie: Ist W ein Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt und es gilt dim W $ \leq $ dim V. Aus dim W = dim V folgt W = V.
b) Beweisen Sie den Basisergänzungssatz: Zu einem System linear unabhängiger Vektoren $ (v_{1},...,v_{n}) $ aus dem endlich dimensionalen VR V kann man weitere Vektoren $ v_{n+1},...,v_{r} $ aus V finden, sodass B = $ (v_{1},...,v_{n},v_{n+1},...,v_{r}) $ eine Basis von V ist!
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