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Vorkurszettel

	www.matheraum.de Algebra 1 Aufgabenblatt 2 Abgabe: So 18.03.2012 19:00	11.03.2012
Die Aufgabenstellungen erfolgen im Bezug auf das Buch "Algebra" von Karpfinger; gestellt werden Sie von Blackwolf1990 und bis sich ein hilfsbereiter Kursleiter findet wird die Korrektur von Interessenten erbeten.
Aufgabe 1
II-1: Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie: (i) $\operatorname{Aut} G = \{\operatorname{id}\} \to G$ ist abelsch. (ii) Ist $a \mapsto a^{2}$ ein Homomorphismus, so ist G abelsch. (iii) Ist $a \mapsto a^{-1}$ ein Automorphismus, so ist G abelsch.
Aufgabe 2
II-2: a) Beweisen Sie: ein Gruppenhomomorphismus $\phi$ ist genau dann injektiv, wenn Kern $\phi$ = ${e_{G}}.$ b) Begründen Sie, dass $(\IZ$ , +) isomorph ist zu $(n\IZ$ , +) für alle natürlichen Zahlen n.
Aufgabe 3
II-3: Sei G eine endliche Gruppe und $\phi \in \operatorname{Aut} G$ fixpunktfrei, d.h. aus $\phi(a) = a$ für ein $a \in G$ folgt a = e. Zeigen Sie: zu jedem $a \in G$ ex. genau ein $b\in G$ mit $a = b^{-1} \phi(b)$ . Hinweis: Zeigen Sie zuerst $\psi : b\mapsto b^{-1} \phi(b)$ ist injektiv.
Aufgabe 4
II-4: Zeigen Sie: Besitzt eine endliche Gruppe G einen fixpunktfreien Automorphismus $\phi$ mit $\phi^{2} = Id$ , so ist G abelsch. Hinweis: Benutzen Sie Übungsaufgabe II-3 !