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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe und würde gern eure Hilfe beanspruchen.
Satz 4.3.b) besagt, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch ist und wenn n:=|G| (Anzahl der Elemente von G), so gibt es zu jedem Teiler m|n genau eine Untergruppe der Ordnung m, nämlich $U = [mm] \{e,g^{d},g^{2d},g^{3d},...,g^{(m-1)*d}\}$, [/mm] wobei $d [mm] :=\bruch{n}{m} \mbox{ und } g\in [/mm] G$
Ich müsste ja zur Erfüllung der Aufgabe sozusagen ein passendes g finden, und G ist hier [mm] \IZ_{n}, [/mm] U = [mm] \IZ_{m}. [/mm] Ich habe aber nicht die leiseste Ahnung, was ich nehmen sollte. Es muss ja eine Zahl kleiner als m sein?
Vielen Dank für Eure Mühe,
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 07.01.2009 | | Autor: | statler |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hi!
> Ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe und würde gern
> eure Hilfe beanspruchen.
>
> Satz 4.3.b) besagt, dass jede Untergruppe einer zyklischen
> Gruppe zyklisch ist und wenn n:=|G| (Anzahl der Elemente
> von G), so gibt es zu jedem Teiler m|n genau eine
> Untergruppe der Ordnung m, nämlich [mm]U = \{e,g^{d},g^{2d},g^{3d},...,g^{(m-1)*d}\}[/mm],
> wobei [mm]d :=\bruch{n}{m} \mbox{ und } g\in G[/mm]
>
> Ich müsste ja zur Erfüllung der Aufgabe sozusagen ein
> passendes g finden, und G ist hier [mm]\IZ_{n},[/mm] U = [mm]\IZ_{m}.[/mm]
> Ich habe aber nicht die leiseste Ahnung, was ich nehmen
> sollte. Es muss ja eine Zahl kleiner als m sein?
Lies dir noch mal durch, was du geschrieben hast, es steht alles schon da. Dein g erzeugt die Obergruppe, du brauchst ein h, das die Untergruppe erzeugt, und es kommt im Text vor! (Wald und Bäume)
Gruß
Dieter
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Hallo und danke für deine Antwort!
Ganz so offenbar, wie du schreibst, ist es mir noch nicht :-(
Ich habe noch nicht soviel Erfahrung mit zyklischen Gruppen. Wenn du aber sagst, dass es im Text vorkommt, kann ich ja Ausschlussverfahren als "Ansatz" anwenden:
d,n,m scheiden für mich aus, weil ich bräuchte ja etwas was kleiner als m ist
Ich habe nun die Vermutung, dass [mm] $d=\bruch{n}{m}$ [/mm] das erzeugende Element ist, nachdem ich mich ein wenig überall durchgelesen habe. Und jetzt ist mir auch klar, warum das kleiner m ist  , weil m nämlich Teiler von n ist. (Ich hatte da vorher irgendwie an ggT oder so gedacht)
D.h. die Unter-Gruppe wird dann durch
[mm] $U:=\left\{\left(\bruch{n}{m}\right)^{k}\Big|k = 0,...,m-1\right\}$
[/mm]
erzeugt. Aber warum funktioniert das?
Grüße,
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Fr 09.01.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ganz so offenbar, wie du schreibst, ist es mir noch nicht
> :-(
> Ich habe noch nicht soviel Erfahrung mit zyklischen
> Gruppen. Wenn du aber sagst, dass es im Text vorkommt, kann
> ich ja Ausschlussverfahren als "Ansatz" anwenden:
>
> d,n,m scheiden für mich aus, weil ich bräuchte ja etwas was
> kleiner als m ist
>
> Ich habe nun die Vermutung, dass [mm]d=\bruch{n}{m}[/mm] das
> erzeugende Element ist, nachdem ich mich ein wenig überall
> durchgelesen habe. Und jetzt ist mir auch klar, warum das
> kleiner m ist , weil m nämlich Teiler von n ist. (Ich
> hatte da vorher irgendwie an ggT oder so gedacht)
So weit, so gut. Die 'Obergruppe' wird durch 1 erzeugt, und die Untergruppe durch (1+...+1) mit n/m = d Einsen.
> D.h. die Unter-Gruppe wird dann durch
>
> [mm]U:=\left\{\left(\bruch{n}{m}\right)^{k}\Big|k = 0,...,m-1\right\}[/mm]
>
> erzeugt. Aber warum funktioniert das?
So solltest du das nicht schreiben, die Verknüpfung in diesen Gruppen schreibt man auf der gesamten Welt additiv. Warum das funktioniert? Überleg dir mal, welche Ordnung das Element d hat!
Gruß
Dieter
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