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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 27.09.2006 | | Autor: | ste.scha |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Zwischenwertsummen für eine Zerlegung [mm]0 |
Ich kann mit der Aufgabenstellung so kaum etwas anfangen da ich nicht weiß was Zwischenwertsummen bzw. Zwischenwerte sind. aber ich hab von jemanden eine Lösungsvariante bekommen. Dennoch hab ich das noch nicht verstanden:
[mm]Z_n =\summe_{k=0}^{k-1}(x_{k+1}-x_k)*(\bruch{1}{\tilde x^2_k})=\summe_{k=0}^{k-1} \bruch{x_{k+1}-x_k}{x_k*x_{k+1}} = \summe_{k=0}^{k-1} \bruch{1}{x_k}*\bruch {1}{x_{k+1}} = \bruch{1}{a}*\bruch{1}{b}[/mm]
mit : [mm]\integral_{a}^{b}\bruch{dx}{x^2}= \bruch{1}{a}*\bruch{1}{b}
[/mm]
was weiß ich: den Zwischenwertsatz (walls das dafür nötig ist)
und ich versteh auch teilweise die rechnung.: [mm]\summe_{k=0}^{k-1} \bruch{x_{k+1}-x_k}{x_k*x_{k+1}} = \summe_{k=0}^{k-1} \bruch{1}{x_k}*\bruch {1}{x_{k+1}}[/mm]
was weiß ich nicht: Wie man auf die Formel von [mm] Z_n[/mm] kommt und wie man zum schluss auf das Ergebnis [mm]\bruch{1}{a}*\bruch{1}{b}[/mm]
kommt
Wenn ihr mir den Grundgedanken und die Rechnung genauer erklären könntet wäre ich euch dankbar.
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Fr 29.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
Wenn man ne Treppenfunktion nimmt, um ein Integral auszurechnen kann man die Intervallänge mit dem Funktionswert a) am Anfang; b) am Ende ; c) irgendwo dazwischen multiplizieren. WENN man die Stelle besonders geschickt wählt, kann man sogar schon den richtigen Wert des Integrals kriegen.
hier soll man nicht den Wert am Anfang oder am Ende, sondern an der geschickt gewählten Stelle [mm] $x_{m}=\wurzel{x_{k+1}*x_k}$
[/mm]
(Bei dir fehlt die Wurzel oder das Quadrat in der Aufgabe!) (mein [mm] x_{m} [/mm] dein xk Schlange)
Der funktionswert an der Stelle ist dann: $ [mm] \bruch{1}{x_{k+1}*x_k}$
[/mm]
Dann mal Intervallänge hast du [mm] $(x_{k+1}-x_k)*\bruch{1}{x_{k+1}*x_k}
[/mm]
Wenn du die Klammer auflöst und summierst hast du eine sog. "Teleskopsumme" d.h. alle Summanden heben sich auf, ausser dem ersten und dem letzten.
Wenn du das nicht siehst, schreib dir die ersten 4 bis 5 auf!
Damit ist klar, dass sich die Summe nicht ändert, wenn man die Intervalle verkleinert. d.h. die Summe ist das Integral. und [mm] x_{0}=a, x_{n}=b
[/mm]
Gruss leduart
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