zwei lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal eine Frage.
Sind zwei lineare Abbildungen a, b (V->w) zwischen den endlich dimensionalen Vektorräumen V und W gleich, wenn sie den selben Kern und das selbe Bild haben?
Also ich weiß jetzt nur, dass wenn sie den gleichen Kern und das gleiche Bild haben, dass dann die Dimension auch gleich sein muss. Aber das sagt mir ja nicht, dass a=b ist.
Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe mal eine Frage.
> Sind zwei lineare Abbildungen a, b (V->w) zwischen den
> endlich dimensionalen Vektorräumen V und W gleich, wenn
> sie den selben Kern und das selbe Bild haben?
Nein , das stimmt nicht, wie man an folgendem einfachen Beispiel sieht:
a: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei def. durch a(x)=x und b: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei def. durch b(x)=2x
FRED
>
> Also ich weiß jetzt nur, dass wenn sie den gleichen Kern
> und das gleiche Bild haben, dass dann die Dimension auch
> gleich sein muss. Aber das sagt mir ja nicht, dass a=b
> ist.
>
> Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Gruß
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Danke für die Antwort.
Also ist der Kern von a und b dann gleich Null??
x=0
2x=0 nach x aufgelöst ergibt wieder x=0
Und was ist mit dem Bild?? Ich verstehe das nicht so genau, da es ja nicht eine ,,normale Form´´ hat.
Gruß
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Kann mir keiner helfen??
Mir würde das Ergebnis reichen, dann suche ich mir selbst den Weg, wenn keiner Lust oder Zeit hat viel zu schreiben.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann mir keiner helfen??
> Mir würde das Ergebnis reichen, dann suche ich mir selbst
> den Weg, wenn keiner Lust oder Zeit hat viel zu schreiben.
was ist denn das Problem? Und doch: Die Abbildungen haben eine normale Form:
[mm] $$f_a(x)=ax$$
[/mm]
kannst Du mit der Matrix [mm] $A=(a)=a\,$ [/mm] schreiben ($1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix), wobei analog der Vektor [mm] $(x)=x\,$ [/mm] ist.
Weiter gilt für $a [mm] \not=0$:
[/mm]
[mm] $$Kern(f_a)=\{0\}\,,$$
[/mm]
denn jede solche Abbildung [mm] $f_a$ [/mm] ist injektiv.
Zudem:
[mm] $$Bild(f_a)=\{f_a(x): x \in D_{f_a}\}$$
[/mm]
ist per Definitionem gegeben und daher hier
[mm] $$=\{ax: x \in \IR\}=\IR$$
[/mm]
was Du leicht nachzuweisen kannst (auch hier $a [mm] \not=0$).
[/mm]
Testfrage an Dich:
Was ist mit dem Fall [mm] $a=0\,$? [/mm] Ist dann [mm] $f_0$ [/mm] injektiv? Linear? Was ist [mm] Kern($f_0$) [/mm] und [mm] Bild($f_0$)?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, der Kern ist beide male [mm] \{0\}. [/mm] Und was ist eine "normale" Form bei dir? $F(v)=A*v$, wobei v ein Vektor ist? Bei b(x)=2x kannst du dir auch vorstellen, dass du die 1x1-Matrix (2) und den eindimensionalen Vektor (x) hast. Aber du kannst auch ganz schnell selber nachprüfen, dass a und b wirklich lineare Abbildungen sind (teste, was [mm] $a(\lambda [/mm] x+y)$ bzw. [mm] $b(\lambda [/mm] x+y)$ ist).
Zu deiner Frage: Schaue dir einfach die Grafen von a und b an, du kannst sie dir ja einfach in ein 2-dimensionales Koordinatensystem malen.
Es gilt dann [mm] Bild(a)=Bild(b)=\IR.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich habe mal eine Frage.
> Sind zwei lineare Abbildungen a, b (V->w) zwischen den
> endlich dimensionalen Vektorräumen V und W gleich, wenn
> sie den selben Kern und das selbe Bild haben?
nur mal so ansatzweise, wie man sich selbst überlegen könnte, wie man zu solch einem Bsp. wie von Fred angegeben kommen kann:
Klar ist, dass [mm] $a(k)=b(k)=0\,$ [/mm] genau für alle [mm] $k\,$ [/mm] aus dem (jeweiligen und damit gemeinsamen) Kern [mm] $\subseteq [/mm] V$ gilt.
Sei nun $w [mm] \in Bild(a)\,.$ [/mm] Dann existiert mindestens ein [mm] $v_a \in [/mm] V$ mit [mm] $a(v_a)=w\,.$ [/mm] Weil [mm] $Bild(a)=Bild(b)\,,$ [/mm] ist [mm] $b^{-1}(\{w\}) \not= \emptyset\,.$ [/mm] Sei [mm] $v_b \in [/mm] V$ beliebig mit [mm] $b(v_b)=w\,.$ [/mm]
Jetzt wissen wir nur, dass [mm] $a(v_a)=w=b(v_b)\,,$ [/mm] also [mm] $a(v_a)-b(v_b)=0\,.$ [/mm] Schreiben wir das mit Matrizen und Vektoren (also [mm] $A\,$ [/mm] für die lineare Abbildung [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] für [mm] $b\,$):
[/mm]
$$A [mm] v_a [/mm] - B [mm] v_b=(0,\ldots,0)^T\,.$$
[/mm]
Wieso sollte dann nun $B [mm] v_b=A v_b$ [/mm] folgen? Aber nur, weil man das nicht sieht, heißt es ja nicht, dass es nicht ist. Und jetzt kommen wir zu dem Punkt, der erkennen läßt, wie Fred dann vorgegangen sein könnte (wenn er das Bsp. "konstruiert" hat) bzw. wie man selbst weiter überlegen könnte:
Man müßte ja eigentlich, das ist der Gedanke der obigen Überlegung, prüfen, ob das Urbild [mm] $a^{-1}(\{w\})$ [/mm] mit dem [mm] $b^{-1}(\{w\})$ [/mm] übereinstimmt. Diese Urbildmengen können i.a. sehr groß sein. Jetzt nimmt Fred aber ein [mm] $w\,,$ [/mm] dass nur ein Urbild bzgl. der Abbildung [mm] $a\,$ [/mm] hat. Denn dann dürfte [mm] $w\,$ [/mm] auch nur eines bzgl. [mm] $b\,$ [/mm] haben, und diese müßten dann übereinstimmen. Also ist es naheliegend, neben den bisherigen Voraussetzungen einfach mal eine injektive lineare Abbildung [mm] $a\,$ [/mm] und eine injektive lineare Abbildung [mm] $b\,,$ [/mm] zu betrachten... Und Freds Abbildungen gehören quasi zu den "einfachsten" linearen Abbildungen, die die Voraussetzungen erfüllen. Und wenn's nun halt da schon schiefgeht, ist man fertig...
Gruß,
Marcel
P.S.:
Natürlich sind oben die Matrizen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] und die entsprechende Koordinatendarstellung der Vektoren bzgl. einer gemeinsamen Basis von [mm] $V\,$ [/mm] bzw. [mm] $W\,$ [/mm] gemeint. Im einfachsten Fall nehme man den [mm] $\IR^n$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^m$ [/mm] mit jeweiliger "Standardbasis", also man rechne sozusagen in kartesischen Koordinaten...
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Vielen Dank an alle, ganz besonders Marcel. Ihr habt mir echt geholfen. Ich glaub ich muss das Thema nach arbeiten.
Grüße
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