zwei beweise (Grenzwert) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x_n [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen, zeige :
a) lim [mm] x_n [/mm] = x impliziert lim [mm] \bruch {x_1 + ... + x_n}{n} [/mm] = x
b) lim [mm] x_n [/mm] = x impliziert lim [mm] \wurzel[n]{x_1x_2 ... x_n} [/mm] = x
Hinweis: Für x > 0, wende für a) log [mm] x_n [/mm] an. |
Könnt Ihr mir einen Tipp geben, wie man das beweisen kann und wozu der Logarithmus dabei nützlich ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Kyrill |
Hallo,
Für den ersten Beweis benötigst du das Folgen Folgenkonvergenzkriterium. Und man muss eine Fallunterscheidung machen.
Zunächst 1. Fall: x=0
Sei nun [mm] \varepsilon>0 [/mm] wähle m so, dass für alle n>m gilt [mm] |x_{n}|<\bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
Dann ist für alle n>m
[mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{m}x_{i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=m+1}^{n}x_{i}
[/mm]
Die erste Summe [mm] \summe_{i=1}^{m}x_{i} [/mm] eine feste Zahl, allerdings wird der Bruch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für große n beliebig klein, so dass [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{m}x_{i} [/mm] ebenfalls beliebig klein wird für große n. Also auch kleiner [mm] als\bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
In der 2. Summe ist jedes einzelne [mm] x_{i} [/mm] wie vorher gewählt kleiner als Epsilon halbe. Das bedeutet, dass die Summe [mm] \summe_{i=m+1}^{n}x_{i} [/mm] kleiner ist als [mm] (n-(m+1))*\bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Da vor der Summe [mm] noch\bruch{1}{n} [/mm] steht wird der gesamte Ausdruck < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Gesamte Summe ist kleiner als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Der 2. Fall: x beliebig
Wenn x beliebig [mm] \Rightarrow x_{n}-x [/mm] Nullfolge
Mit dem 1. Fall folgt:
[mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x)\to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}x_{i}\to [/mm] x
Das geht, da x unabhängig von i ist, also aus der Summe rausgeschrieben werden kann.
Zu Aufgabe b)
Ich nehme an, dass sich deine Tipps aus diese Nummer bezieht, da es wichtige Vorraussetzungen sind.
Also nochmal die Aufgabe:
Sei [mm] y_{n}>0 [/mm] eine Folge die gegen a>0 konvergiert. Dann konvergiert eine Folge [mm] g_{n}:=\wurzel[n]{y_{1}*y_{2}*...*y_{n}} [/mm] gegen a
Beweis:
Definiere [mm] x_{n}:= log(y_{n}) [/mm] dies ist möglich, da [mm] y_{n} [/mm] positiv
Dann konvergiert [mm] x_{n} \to [/mm] log(a) ( dies gilt, da der logarithmus stetig ist)
Nach der Nummer a gilt dann:
[mm] \bruch{1}{n}*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}) \to [/mm] log(a)
Jetzt macht man die Definition von vorher rückgängig. Setze als [mm] x_{n}=log(y_{n}) [/mm] ein
Also: [mm] \bruch{1}{n}*(log(y_{1})+log(y_{2})+...+log(y_{n})) \to [/mm] log(a)
Jetzt die Logarithmusgesetze anwenden
[mm] \Rightarrow log(y_{1}^{\bruch{1}{n}}*y_{2}^{\bruch{1}{n}}*...*y_{n}^{\bruch{1}{n}}) \to [/mm] log(a)
Jetzt nur noch delogarithmieren
[mm] \Rightarrow y_{1}^{\bruch{1}{n}}*y_{2}^{\bruch{1}{n}}*...*y_{n}^{\bruch{1}{n}} \to [/mm] a
und das ist schon die Behauptung!
Ich hoffe ich konnte helfen.
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Hi Kyrill,
danke für deine Antwort. Damit ist meine Frage beantwortet und ich habe auch ganz gut verstanden, wie es geht.
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