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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x):=
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ e ]-unendlich,-1[ U (0) } \\ x^2, & \mbox{falls } x \mbox{ e [-1,1] ohne 0 } \\ 2x-2, & \mbox{falls } x \mbox{ e ]1,unendlich] } \end{cases}
[/mm]
(a) In welchen Punkten ist f stetig, in welchen besitzt f rechts- oder linksseitige Grenzwerte, in welchen ist f stetig fortsetzbar?
(b) In welchen Punkten ist die stetige Fortsetzung g von f diff.bar?
(c) bestimmen Sie möglichst große Intrvalle in denen f monoton ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
ich habe große Probleme mit diesen "zusammengesetzten Funktionen". Ich habe mich einmal herangewagt und versucht die Fragen anzugehen.
(a) f ist auf jeder Teilfkt. stetig, da Polynomfkt.
in -1 besitzt f einen linksseitigen Grenzwert und einen rechtsseitigen Grenzwert. Diese sind gleich und somit an -1 stetig fortsetzbar?
In 1 ist der linksseitige Grenzwert 0 und der rechtsseitige -2. Somit nicht stetig fortsetzbar?
Was ist mit der Stelle 0? Hier weiß ich nicht so recht wie hier herangehen kann
(b) Hier weiß ich gar nicht wie ich anfangen könnte
(c) Hier die erste Ableitung jeder Teilfunktion bilden und prüfen ob diese >0 oder <0 ist?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Sei [mm]f:\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] f(x):=
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \mbox{ e ]-unendlich,-1[ U (0) } \\ x^2, & \mbox{falls } x \mbox{ e [-1,1] ohne 0 } \\ 2x-2, & \mbox{falls } x \mbox{ e ]1,unendlich] } \end{cases}[/mm]
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> (a) In welchen Punkten ist f stetig, in welchen besitzt f
> rechts- oder linksseitige Grenzwerte, in welchen ist f
> stetig fortsetzbar?
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> (b) In welchen Punkten ist die stetige Fortsetzung g von f
> diff.bar?
> (c) bestimmen Sie möglichst große Intrvalle in denen f
> monoton ist
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> ich habe große Probleme mit diesen "zusammengesetzten
> Funktionen". Ich habe mich einmal herangewagt und versucht
> die Fragen anzugehen.
>
> (a) f ist auf jeder Teilfkt. stetig, da Polynomfkt.
Hallo,
ja, Du meinst hier das richtige.
Gib' die Bereiche an, über denen die Funktion f aus diesem Grund sicher stetig ist.
> in -1 besitzt f einen linksseitigen Grenzwert und einen
> rechtsseitigen Grenzwert. Diese sind gleich
Damit ist der Grenzwert von f an der Stelle -1 gleich f(-1)=1
> und somit an -1
> stetig fortsetzbar?
Die Funktion ist dort sogar stetig.
>
> In 1 ist der linksseitige Grenzwert 0 und der rechtsseitige
> -2. Somit nicht stetig fortsetzbar?
Richtig. Sie ist nicht stetig, weil der Grenzwert an dieser Stelle nicht existiert, und sie ist hier auch nicht stetig fortsetzbar.
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> Was ist mit der Stelle 0? Hier weiß ich nicht so recht wie
> hier herangehen kann
Welches ist der Funktionswert an der Stelle 0 ?
Der Grenzwert von rechts?
Der Grenzwert von links?
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> (b) Hier weiß ich gar nicht wie ich anfangen könnte
Hier überlegst Du Dir erstmal, über welchen Intervallen die Funktion als Zusammensetzung diffbarer Funktionen diffbar ist.
Anschließend sind die Nahtstellen der Funktion zu überprüfen, indem Du berechnest, ob an diesen Stellen der Limes des Differenzenquotienten existiert oder nicht.
> (c) Hier die erste Ableitung jeder Teilfunktion bilden und
> prüfen ob diese >0 oder <0 ist?
Das ist auf jeden Fall zu tun.
Aber auch hier mußt Du gut auf die Nahtstellen schauen, ob sie Dir die Monotonie nicht verderben.
Es könnte ja eine Funktion aus zwei Geradenstücken mit positiver Steigung bestehen, die an der Nahtstelle versetzt sind.
Du solltest Dir unbedingt eine Skizze machen.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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