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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Di 10.02.2009 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | betrachte [mm] X^3+2x^2+2 [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] E ist der zerfällungskörper.
gib den erzeuger von [mm] gal(E|\IQ) [/mm] an. |
hallo zusammen,
ich übe gerad für ne klausur am freitag....
die aufgabe hab ich hier http://www.math.rwth-aachen.de/~kuenzer/algebraI/Klausur2.pdf gefunden.
ich bin im moment zu blöd folgendes nachzurechnen, weil ich auch net check, wie man darauf kommt:
[mm] \alpha_1^3 [/mm] = [mm] -2\alpha_1^2-2:
[/mm]
[mm] x^3+2x^2+2 [/mm] = (x - [mm] \alpha_1)(x^2 [/mm] + [mm] (\alpha_1 [/mm] + 2)·x + [mm] (\alpha_1+ 2)\alpha_1) \in \IQ[\alpha_1]
[/mm]
ich seh einfach net, wie man das [mm] x-\alpha_1 [/mm] rausziehen kann...
lg und danke schonmal :)
eumel
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Hallo eumel,
> [mm]\alpha_1^3[/mm] = [mm]-2\alpha_1^2-2:[/mm]
Diese Gleichung wird wie folgt weiterverwandt: [mm] 2=-\alpha_1^3-2\alpha_1^2
[/mm]
Einsetzen: [mm] x^3+2x^2+2=x^3+2x^2-\alpha_1^3-2\alpha_1^2
[/mm]
Wenn Du diesen Ausdruck =0 setzt, "siehst" Du hoffentlich direkt, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn [mm] x=\alpha_1. [/mm] Der Ausdruck muss daher durch [mm] (x-\alpha_1) [/mm] teilbar sein.
Wie man dann ausklammert, zeigt Dir eine Polynomdivision oder geschickte Umformung:
[mm] x^3+2x^2-\alpha_1^3-2\alpha_1^2=x^3-\alpha_1^3+2x^2-2\alpha_1^2=(x-\alpha_1)*(x^2+\alpha_1 x+\alpha_1^2)+(x-\alpha_1)*2*(x+\alpha_1)=\cdots
[/mm]
> lg und danke schonmal :)
> eumel
Grüße
reverend
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