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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 19.01.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ [/mm] nicht faktoriell ist. |
Dazu genügt es doch ein Element aus $R$ anzugeben, welches (bis auf gewisse Einheiten) nicht eindeutig zerlegt werden kann.
Meine Intuition sagt mir, dass mir hier die Abbildung [mm] $N(a+b\sqrt{5}) =a^2+5b^2 [/mm] $ weiterhelfen kann. Doch weiß ich leider nicht, wie ich dies nun genau zeigen kann, dass diese die Nichteindeutigkeit der Darstellung belegt.
Kann mir da jemand Tipps geben?
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Kennst du die Aussage:
R faktoriell mit [mm]x\in R[/mm] dann [mm]x\textrm{ prim} \gdw x\textrm{ irreduzibel}[/mm]
Wenn du die natürlichen Zahlen durchgehst solltest du nach 2 Versuchen eine Zahl finden, die irreduzibel aber nicht prim ist.
Oder du betrachtest 6.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 19.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Erstmal, danke für deine schnelle Reaktion! ;)
Sry, aber, bin ich jetzt ganz dumm: Wenn du vorher behauptet hast, dass wenn ein Element prim ist, es auch irreduzibel ist und umgekehrt, wie kann man dann bitte eine natürliche Zahl finden, die irreduzibel aber nicht prim ist???? Hast du dich vielleicht unabsichtlich verschrieben?
Meinst du eigentlich am Schluss die natürliche Zahl 6 die ich betrachten soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erstmal, danke für deine schnelle Reaktion! ;)
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> Sry, aber, bin ich jetzt ganz dumm: Wenn du vorher
> behauptet hast, dass wenn ein Element prim ist, es auch
> irreduzibel ist und umgekehrt, wie kann man dann bitte eine
> natürliche Zahl finden, die irreduzibel aber nicht prim
> ist???? Hast du dich vielleicht unabsichtlich verschrieben?
Nein, du hast dich verlesen.
Er schrieb: wenn der Ring faktoriell ist, dann gilt ...
Wenn du also ein Gegenbeispiel zu ... findest, dann kann der Ring nicht faktoriell sein.
(Punkte passend ersetzen.)
> Meinst du eigentlich am Schluss die natürliche Zahl 6 die
> ich betrachten soll?
Ja. Die 6 aufgefasst als Element von [mm] $\IZ[\sqrt{5}]$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Do 20.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, ich habe da nun "alles" mögliche probiert, es lässt sich lediglich zu $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ eine Zerlegung der 6 angeben. Und zwar: $6=(1-\sqrt{-5})\cdot(1+\sqrt{-5})$ Bei $\mathbb{Z}{[\sqrt{5}]$ lässt sich meiner Ansicht nach keine solche finden. Ich nehme an, dass ihr dies unabsichtlich mit dem vorigen verwechselt habt. Oder übersehe ich schon wieder wesentliches?
Ich behaupte jedenfall,s es lässt sich NICHT so ohne weiters ein Gegenbeispiel für die Tatsache finden, dass der Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ faktoriell ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also, ich habe da nun "alles" mögliche probiert, es lässt
> sich lediglich zu [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/mm] eine Zerlegung der
> 6 angeben. Und zwar: [mm]6=(1-\sqrt{-5})\cdot(1+\sqrt{-5})[/mm] Bei
> [mm]\mathbb{Z}{[\sqrt{5}][/mm] lässt sich meiner Ansicht nach keine
> solche finden.
Nunja, eine Zerlegung schon: $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3$ 
> Ich behaupte jedenfall,s es lässt sich NICHT so ohne
> weiters ein Gegenbeispiel für die Tatsache finden, dass
> der Ring [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{5}][/mm] faktoriell ist.
Schau dir doch zwei einfache Zerlegungen von 4 an. Ein moeglicher Faktor ist $1 + [mm] \sqrt{5}$.
[/mm]
Und apropos: die Abbildung die dich interessiert ist $N(a + b [mm] \sqrt{5}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - 5 [mm] b^2$ [/mm] und nicht mit $+$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 20.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Ok, gut, ich habe nun heraus, dass [mm] $4=2\cdot 2=(1+\sqrt{5})(-1+\sqrt{5}).$ [/mm] Dabei sind die Faktoren jeweils irreduzibel. Aber unter den vier hier angegebenen Zahlen sind keine zwei asoziiert. Die Einheiten sind daher nur [mm] $\pm [/mm] 1.$ Daraus folgt, der Ring ist nicht faktoriell!
Ist meine Argumentation hier in Ordnung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Do 20.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Ich hätte nur EINE Frage an euch, und zwar: Wie kann man zeigen, dass sowohl 2 als auch [mm] $(1+\sqrt{5})$ [/mm] irreduzibel sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich hätte nur EINE Frage an euch, und zwar: Wie kann man
> zeigen, dass sowohl 2 als auch [mm](1+\sqrt{5})[/mm] irreduzibel
> sind?
Nimm die Normabbildung $N : [mm] \IZ[\sqrt{5}] \to \IZ$, [/mm] $a + b [mm] \sqrt{5} \mapsto a^2 [/mm] - 5 [mm] b^2$. [/mm] Diese ist multiplikativ.
Zeige zuerst: $x [mm] \in \IZ[\sqrt{5}]$ [/mm] ist Einheit [mm] $\Leftrightarrow [/mm] N(x) = [mm] \pm [/mm] 1$.
Da $N(1 + [mm] \sqrt{5}) [/mm] = -4$ und $N(2) = 4$ reicht es aus zu zeigen, dass es kein Element mit Norm [mm] $\pm [/mm] 2$ gibt.
Dazu schaust du dir die Gleichung $N(a + [mm] \sqrt{5} [/mm] b) = [mm] \pm [/mm] 2$ (mit $a, b [mm] \in \IZ$) [/mm] modulo 5 an. Was kann $N(a + [mm] \sqrt{5} [/mm] b)$ dann fuer Werte annehmen?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, gut, ich habe nun heraus, dass [mm]4=2\cdot 2=(1+\sqrt{5})(-1+\sqrt{5}).[/mm]
> Dabei sind die Faktoren jeweils irreduzibel. Aber unter den
> vier hier angegebenen Zahlen sind keine zwei asoziiert. Die
> Einheiten sind daher nur [mm]\pm 1.[/mm] Daraus folgt, der Ring ist
> nicht faktoriell!
>
> Ist meine Argumentation hier in Ordnung?
Ja.
Wenn du halt noch nachweist, dass sie wirklich nicht assoziiert sind (ist einfach) und dass sie irreduzibel sind (siehe andere Antwort).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 20.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
es gibt ja noch das Problem, dass das multiplikative Einselement zerlegbar ist:
[mm] (\wurzel{5}+2)(\wurzel{5}-2)=1
[/mm]
Wieso gibt es dann eigentlich überhaupt noch irreduzible Elemente?
Eindeutige Zerlegungen sind ja nicht mehr möglich.
Ich habe wahrscheinlich gerade ein Brett im Standardformat vor dem Kopf.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin reverend,
> es gibt ja noch das Problem, dass das multiplikative
> Einselement zerlegbar ist:
>
> [mm](\wurzel{5}+2)(\wurzel{5}-2)=1[/mm]
das geht auch in [mm] $\IZ$: [/mm] dort ist $1 = (-1) [mm] \cdot [/mm] (-1)$.
Solche Zerlegungen sind gerade Produkte von zueinander inversen Einheiten. (Zumindest in kommutativen Ringen.)
> Wieso gibt es dann eigentlich überhaupt noch irreduzible
> Elemente?
> Eindeutige Zerlegungen sind ja nicht mehr möglich.
Doch, bis auf Assoziiertheit, also bis auf Multiplikation mit Einheiten.
> Ich habe wahrscheinlich gerade ein Brett im Standardformat
> vor dem Kopf.
Kommt vor
LG Felix
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Hallo clemenum,
also ich finde ohne Mühe haufenweise Zerlegungen von Primzahlen. Eine kleine Exceltabelle hilft...
z.B. ist [mm] 19=4*\wurzel{5}^2-1=... [/mm] oder [mm] 41=9*\wurzel{5}^2-4=...
[/mm]
Eine alternative Zerlegung von 4 hat Felix ja auch schon fast vollständig hingeschrieben.
Grüße
reverend
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