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| Aufgabe | A1:
Zeigen Sie, dass
a) die Summe zweier ungeraden Quadratzahlen keine Quadratzahl,
b) die Summe von fünf aufeinanader folgenden Quadratzahlen keine Quadratzahl seien kann.
c) Begründen Sie, dass für eine Primzahl p>2 mit [mm] p=a^2+b^2,[/mm] [mm] a,b\in\IN [/mm] gilt: p=q*4+1, [mm] q\in\IN [/mm]
A2:
Bestimmen Sie alle Zahlen [mm] p\in\IN [/mm], so dass p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14 Primzahlen sind.
A3:
Bestimmen Sie alle Primzahlenp, für welche 4*p+1 eine quadratzahl ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo leute,
ich kam mit den aufgaben überhaupt nicht klar ich weiss auch nicht wie ich es angehen soll. Nur bei der Aufgabe A1a hatte ich gesagt:
a=2*m+1 und b=2*n+1 weil 2*k+1 ungerade zahl ist,also [mm] a^2+b^2=c [/mm] eingesetzt: [mm] (2m+1)^2+(2n+1)^2=c [/mm] ausgerechnet
[mm] 4(m^2+m+n^2+n)+2=c [/mm] weiter kam ich nicht oder ist es auch falsch?
danke euch schon für eure hilfen und bemühungen!!!
sakarsakir
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> A1:
> Zeigen Sie, dass
>
> a) die Summe zweier ungeraden Quadratzahlen keine
> Quadratzahl,
> b) die Summe von fünf aufeinanader folgenden Quadratzahlen
> keine Quadratzahl seien kann.
> c) Begründen Sie, dass für eine Primzahl p>2 mit
> [mm]p=a^2+b^2,[/mm] [mm][mm]a,b\in\IN [/mm][/mm] gilt: p=q*4+1, [mm][mm]q\in\IN [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]A2:[/mm][/mm]
> [mm][mm] Bestimmen Sie alle Zahlen [mm][mm]p\in\IN [/mm],[/mm] so dass p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14 Primzahlen sind.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]A3:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Bestimmen Sie alle Primzahlenp, für welche 4*p+1 eine quadratzahl ist.[/mm][/mm][/mm]
>Nur bei der Aufgabe A1a hatte ich gesagt:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]a=2*m+1 und b=2*n+1 weil 2*k+1 ungerade zahl ist,also [mm]a^2+b^2=c[/mm] eingesetzt: [mm](2m+1)^2+(2n+1)^2=c[/mm] ausgerechnet[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]4(m^2+m+n^2+n)+2=c[/mm] weiter kam ich nicht oder ist es auch falsch?[/mm][/mm][/mm]
Hallo,
Eins nach dem anderen. Fangen wir mit A1 an:
Da ist ja schon einiges richtig. Mit a=2*m+1 und b=2*n+1 erhlt man
[mm] a^2+b^2=4(m^2+m+n^2+n)+2
[/mm]
Wenn dies gleich einer Quadratzahl sein soll, gibt es ein c mit
[mm] 4(m^2+m+n^2+n)+2=c^2.
[/mm]
Der linken Seite entnimmt man : 2 teilt [mm] c^2.
[/mm]
Dann kann c nicht ungerade sein. (Warum?)
Also ist c gerade, also c=2k.
[mm] ==>4(m^2+m+n^2+n)+2= [/mm] ...
==> 2= ... - [mm] 4(m^2+m+n^2+n)
[/mm]
==> ???? Widerspruch. Also gibt es solch ein c nicht.
Aufgabe b) dürfte in ähnliche Richtung gehen,
und wenn Dir bei c klar, ist, daß a und b entweder gerade oder ungerade sind, fällt Dir bestimmt eine Begründung ein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mi 01.11.2006 | | Autor: | sakarsakir |
> Da ist ja schon einiges richtig. Mit a=2*m+1 und b=2*n+1
> erhlt man
>
> [mm]a^2+b^2=4(m^2+m+n^2+n)+2[/mm]
>
> Wenn dies gleich einer Quadratzahl sein soll, gibt es ein c
> mit
>
> [mm]4(m^2+m+n^2+n)+2=c^2.[/mm]
>
> Der linken Seite entnimmt man : 2 teilt [mm]c^2.[/mm]
>
> Dann kann c nicht ungerade sein. (Warum?)
> Also ist c gerade, also c=2k.
>
> [mm]==>4(m^2+m+n^2+n)+2=[/mm] ...
>
> ==> 2= ... - [mm]4(m^2+m+n^2+n)[/mm]
>
> ==> ???? Widerspruch. Also gibt es solch ein
> c nicht.
Warum kann c nicht ungerade sein? [mm] (2k+1)^2= 4(k^2+k)+1 [/mm] folgt: immer ein rest von 1. Ist es richtig?
$ [mm] ==>4(m^2+m+n^2+n)+2= [/mm] $ ...
==> 2= ... - $ [mm] 4(m^2+m+n^2+n) [/mm] $
ich verstehe nicht was ich gleichsetzen soll? hatte gedacht
[mm] 2k^2=4(m^2+m+n^2+n)+2 [/mm] aber da bekomme ich ganz was anderes raus
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> Warum kann c nicht ungerade sein? [mm](2k+1)^2= 4(k^2+k)+1[/mm]
> folgt: immer ein rest von 1. Ist es richtig?
Ja.
>
>
>
> [mm]==>4(m^2+m+n^2+n)+2=[/mm] ...
>
> ==> 2= ... - [mm]4(m^2+m+n^2+n)[/mm]
>
> ich verstehe nicht was ich gleichsetzen soll? hatte
> gedacht
> [mm]2k^2=4(m^2+m+n^2+n)+2[/mm] aber da bekomme ich ganz was anderes
> raus
Nun, auf dem richtigen Weg bist Du schon.
Wenn c nicht ungerade ist, ist c gerade, also c=2k, d.h. [mm] c^2=??? ==4(m^2+m+n^2+n)+2
[/mm]
Nun stell die 2 frei.
Gruß v. angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 01.11.2006 | | Autor: | sakarsakir |
also so hab ich es gleichgesetzt:
c=2k folgt:
[mm] (2k)^2=4(m^2+m+n^2+n)+2
[/mm]
[mm] 4k^2=4(m^2+m+n^2+n)+2
[/mm]
[mm] 2=4k^2-4(m^2+m+n^2+n)
[/mm]
[mm] 2=4(m^2+m+n^2+n-k^2)
[/mm]
[mm] 1=2(m^2+m+n^2+n-k^2) [/mm] links und rechts steht nicht das gleiche weil die summe mit zwei erweitert wird und somit nicht 1 ergibt also ein widerspruch.
richtig?
gruß sakarsakir
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 01.11.2006 | | Autor: | sakarsakir |
[mm] 1=2(k^2-m^2+m+n^2+n) [/mm] sorry hab vorzeichenfehler gemacht
gruß sakarsakir
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> [mm]1=2(k^2-m^2+m+n^2+n)[/mm] sorry hab vorzeichenfehler gemacht
Hallo,
Vorzeichensalat ist da immer noch.
So wäre es [mm] richtig:1=2(k^2-(m^2+m+n^2+n)).
[/mm]
Aber das, worauf es in der Argumentation ankommt, scheinst Du verstanden zu haben. Allerdings solltest Du es anders formulieren:
statt "die Summe mit 2 erweitert" (o.ä.) solltest Du sagen "also ist 2 ein Teiler von 1". DER Widerspruch ist deutlich.
Gruß v. Angela
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