y bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 So 25.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Löse die beiden folgenden Differentialgleichungen:
a) [mm]y' = (x + y + 1)^2[/mm]
b) [mm]xy' = y + xe^\bruch{y}{x}[/mm] |
a) Ich habe Substituiert:
[m]w=x+y+1 \rightarrow y=w-x-1[/m]
[m]y'=w^2[/m]
[m]w'=1+y'[/m]
[m]\bruch{dw}{dx}=1+y'=1+w^2[/m]
[m]\bruch{dw}{1+w^2}=dx[/m]
[m]\int{\bruch{1}{1+w^2}dw}=\int{dx}[/m]
[m]\arctan(w)=x+c[/m]
[m]w=\tan(x+c)[/m]
Rücksubstitution:
[m]w=\tan(x+c)\rightarrow y=w-x-1[/m]
[m]y=\tan(x+c)-x-1, c\in\IR[/m]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 25.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Löse die beiden folgenden Differentialgleichungen:
> a) [mm]y' = (x + y + 1)^2[/mm]
> b) [mm]xy' = y + xe^\bruch{y}{x}[/mm]
> a)
> Ich habe Substituiert:
> [m]w=x+y+1 \rightarrow y=w-x-1[/m]
> [m]y'=w^2[/m]
> [m]w'=1+y'[/m]
> [m]\bruch{dw}{dx}=1+y'=1+w^2[/m]
> [m]\bruch{dw}{1+w^2}=dx[/m]
> [m]\int{\bruch{1}{1+w^2}dw}=\int{dx}[/m]
> [m]\arctan(w)=x+c[/m]
> [m]w=\tan(x+c)[/m]
> Rücksubstitution:
> [m]w=\tan(x+c)\rightarrow y=w-x-1[/m]
> [m]y=\tan(x+c)-x-1, c\in\IR[/m]
Alles richtig
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 So 25.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Alles richtig
>
> FRED
Vielen Dank Fred :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 So 25.09.2011 | | Autor: | frank85 |
b)[m]xy'=y+x*e^\left(\bruch{y}{x}\right)[/m]
Was macht man da? Trennung der Variablen scheint ja nicht möglich wegen [m]e^\left(\bruch{y}{x}\right)[/m] und das Auftrennen nach [m]y'= f(x) * g(x) auch nicht. Was tun?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo frank85,
mit einer Substitution sollte man hier weiterkommen.
Du hast hier was stehen in der Form
[mm] y^{'} = f({\bruch{y}{x}) [/mm]
[mm] z = \bruch{y}{x} [/mm] führt auf eine DGL vom Typ
[mm] z^{'} = \bruch{f(z)-z}{x} [/mm] und dann geht es wie gewohnt weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 25.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo frank85,
> mit einer Substitution sollte man hier weiterkommen.
> Du hast hier was stehen in der Form
> [mm]y^{'} = f({\bruch{y}{x})[/mm]
> [mm]z = \bruch{y}{x}[/mm] führt auf eine
> DGL vom Typ
> [mm]z^{'} = \bruch{f(z)-z}{x}[/mm] und dann geht es wie gewohnt
> weiter.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
Danke für den Tipp, aber irgendwie hilfts nicht...
[m]xy'=y+x*e^\left(\bruch{y}{x}\right)[/m]
[m]y'=\left(\bruch{y}{x}\right)+e^\left(\bruch{y}{x}\right)[/m]
[m]z=\left(\bruch{y}{x}\right)[/m]
[m]\rightarrow y'=z+e^z[/m]
wie soll es jetzt weitergehen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Funktion z ist doch jetzt eine Funktion von x, also
[mm] z(x) = \bruch{y(x)}{x} [/mm] und mit dessen Hilfe musst Du nun noch die Ableitung der Funktion y(x) ersetzen. Das geht aber recht einfach, denn
[mm] y(x) = x \cdot z(x) [/mm] und mit der Produktregel bekommst Du
[mm] y^{'} (x) = z(x) + x \cdot z^{'} (x) [/mm].
So kannst Du die linke Seite der DGL ersetzen und kannst dann z und x separieren und anschließend integrieren.
Rücksubstituieren nicht vergessen!
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 So 25.09.2011 | | Autor: | frank85 |
okay ich habs, danke! und schönen sonntag noch :)
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