y'=f(ax+by) auf TdV zurückf. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Sa 19.04.2008 | | Autor: | sean |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gew.Dgl. $y'=f(ax+by) , a,b [mm] \ne [/mm] 0$ mit der Funktion $u(x)=ax+by$ auf die Methode der getrennten Variablen zurückgeführt werden kann. |
Hallo zusammen,
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (ist das so richtig?))
wir haben im Fach Gew.Dgl. die o.g. Aufgabe bekommen. Ich habe schon so viel Zeit damit verbracht, dass ich mir gar nicht mehr sicher bin, ob die Aufgabe nicht in Wirklichkeit viel leichter ist, als ich mir es vorstelle. Sicherlich läuft das auf eine Substitution hinaus. Bisher habe ich folgende Umformungen vorgenommen:
[mm]\frac{f(u(x))}{f(u(x))}=1 \Rightarrow \int\frac{f(u(x))}{f(u(x))}\,\mathrm dx = \int\,\mathrm dx \overset{\mathrm Subst.}{\Leftrightarrow} \int\frac{\mathrm du}{u^\prime} = \int \mathrm dx[/mm]
geht das überhaupt? Bei der Substitution bin ich mir nicht sicher. Man könnte ja schließlich auch einfach kürzen und hätte [mm] $\int [/mm] 1 [mm] \mathrm [/mm] dx$ was natürlich nicht weiterhilft.
Alternativ:
[mm]u(x)=ax+by \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow y=\frac{u(x)}{b}-\frac{a}{b}x \Rightarrow y'=\frac{u'(x)-a}{b} \Rightarrow \int\frac{\frac{u'(x)-a}{b}}{f(u(x))}\mathrm dx=\int\mathrm dx[/mm]
Wieder Substituieren $u=u(x)$
[mm]\int\frac{1-\frac{a}{u^\prime}}{bf(u)}\mathrm du=...[/mm]
Aber spätenstens da bin ich mir fast sicher, dass ich irgendwo Fehler gemacht habe. Wie gesagt, ich weiß nichtmal, ob meine Umformungen korrekt sind. Ich fürchte, ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
Gruß
sean
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Der Ansatzt per Substitution klappt gut, und zwar so:
u(x)=ax+by
[mm] \bruch{u(x)-ax}{b}=y
[/mm]
[mm] y'=\bruch{u'(x)-a}{b}
[/mm]
y'=f(ax+by)
[mm] \bruch{u'(x)-a}{b}=f(u)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=b*f(u)+a [/mm] <-- Jetzt Trennung der Variablen
[mm] \bruch{du}{b*f(u)+a}=dx [/mm]
[mm] \integral{\bruch{du}{b*f(u)+a}}=\integral{dx}+Konstante
[/mm]
[mm] x=\integral{\bruch{du}{b*f(u)+a}}+Konstante
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Sa 19.04.2008 | | Autor: | sean |
Hallo!
Danke erstmal für die Antwort. Leider ist mir nicht klar, wie ich von da auf die Funktion y(x) schließen kann. Ich muss ja irgendwie den Term [mm] $\frac{1}{b(f(u)+a} [/mm] $nach $u$ integrieren.
Gruß
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Ohne genaue Kenntnis von f wird das nicht gehen. Die Aufgabe lautet aber doch, zu beweisen, DASS es mit TdV möglich ist, nicht, das auch tatsächlich durchzuführen.
Wenn man f kannte, berechne man "einfach" das Integral, löse nach u auf und setze [mm] y(x)=\bruch{u(x)-a*x}{b}
[/mm]
Gefordert ist das aber in der Aufgabe nicht.
Zu deinen Ansätzen:
$ [mm] \frac{f(u(x))}{f(u(x))}=1 \Rightarrow \int\frac{f(u(x))}{f(u(x))}\,\mathrm [/mm] dx = [mm] \int\,\mathrm [/mm] dx [mm] \overset{\mathrm Subst.}{\Leftrightarrow} \int\frac{\mathrm du}{u^\prime} [/mm] = [mm] \int \mathrm [/mm] dx $
geht das überhaupt? Bei der Substitution bin ich mir nicht sicher. Man könnte ja schließlich auch einfach kürzen und hätte $ [mm] \int [/mm] 1 [mm] \mathrm [/mm] dx $ was natürlich nicht weiterhilft.
Du hast die DGL umgeformt zu [mm] \fraction{y'}{f(ax+by)}=1 [/mm] (?)
Da y'=f(ax+by)=f(u(x)) gilt diese Gleichheit ja für alle beliebigen u(x), sofern y'(x)=f(u(x)) gilt... das hilft dir aber recht wenig bei der Bestimmung von u(x). Du hast praktisch folgendes gemacht:
Angenommen, Aussage A (y'=f(ax+by)) gilt. Dann folgt, Aussage [mm] B(\int\frac{\mathrm du}{u^\prime} [/mm] = [mm] \int \mathrm [/mm] dx ) ist wahr.
Jetzt müsstest du aber rausfinden, wann A gilt, und nicht eine Aussage B daraus schlussfolgern und feststellen, dass diese wahr ist (wenn A).
(Mir ist noch unklar, was du substituiert hast, aber der Ansatz bringt uns sowieso nicht weiter. Falls du wie unten u(x)=u(x) substituiert hast, dann würde das am Integranden nichts ändern: [mm] \integral{\bruch{du}{u'(x)}} [/mm] heißt ja nichts weiter als [mm] \integral{\bruch{du}{\bruch{du}{dx}}} [/mm] = [mm] \integral{dx} [/mm] = [mm] \integral{dx} [/mm] Das ist zwar eine wahre Aussage, aber du willst ja herausfinden, wann sie eine ist, also eine Gleichung für u(x) bestimmen)
Alternativ:
$ u(x)=ax+by [mm] \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow y=\frac{u(x)}{b}-\frac{a}{b}x \Rightarrow y'=\frac{u'(x)-a}{b} \Rightarrow \int\frac{\frac{u'(x)-a}{b}}{f(u(x))}\mathrm dx=\int\mathrm [/mm] dx $
Wieder Substituieren $ u=u(x) $
$ [mm] \int\frac{1-\frac{a}{u^\prime}}{bf(u)}\mathrm [/mm] du=... $
An sich nicht direkt falsch, s.o.
Totzdem aber ein interessanter Fehler/Trugschluss. Irgendwie ist ja alles richtig, aber irgendwie auch nicht und man kann Stunden überlegen, ohne mitzukriegen, was da falsch ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 19.04.2008 | | Autor: | sean |
Hallo,
glücklicherweise haben wir auch eine konkrete Aufgabe, die wir damit lösen sollen - sorry, hätte ich vielleicht besser gleich dazu geschrieben.
Sie lautet: [mm](x+2y)y^\prime=1[/mm]
Wir setzen demnach [mm]u(x)=x+2y \Leftrightarrow y=\frac{u(x)-x}{2} \Rightarrow y^\prime=\frac{u^\prime(x)-1}{2}[/mm]
Setzen wir das wieder ein, erhalten wir ($(x+2y)=u(x)$, $y'=[s.o.]$):
[mm]u(x)\frac{u^\prime(x)-1}{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{2}\int u(x)u^\prime(x)-u(x) \mathrm dx = \int\mathrm dx \overset {u=u(x)}{\Rightarrow} \int u-\frac{u}{u^\prime} \mathrm du=\int \mathrm dx [/mm]
[mm]\Leftrightarrow \int u\mathrm du - \int\frac{u}{u^\prime}\mathrm du = \int\mathrm dx[/mm]
Ist es denn soweit richtig? Falls ja; den Teil [mm] $\int [/mm] u [mm] \mathrm [/mm] du$ kann ich ja leicht integrieren, aber was passiert mit [mm] $\int\frac{u}{u^\prime}\mathrm [/mm] du$ ? Wie löse ich das auf?
Vielen Dank im Voraus!
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$ [mm] (x+2y)y^\prime=1 [/mm] $
u(x)=x+2y
[mm] y=\frac{u-x}{2}
[/mm]
[mm] y'=\frac{u'-1}{2}
[/mm]
[mm] u*\frac{u'-1}{2}=1
[/mm]
[mm] \frac{u'*u}{2}-\frac{u}{2}=1
[/mm]
[mm] u'=\frac{2}{u}+1
[/mm]
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{2+u}{u}
[/mm]
[mm] \frac{du*u}{u+2}=dx
[/mm]
[mm] \integral\frac{du*u}{u+2}=\integral{dx}+Konstante
[/mm]
[mm] -2\cdot{}ln(|u+2|)+u=x+Konstante [/mm] |u=x+2y ,danach e^(beide Seiten der Gleichung)
[mm] \frac{e^{2y}}{(x+2y+2)^2}=Konstante
[/mm]
Umd das in explizite Form (y=) zu bringen, müsste man es nach y auflösen, was hier m.E. nicht möglich ist.
Falls du meine vorher hergeleitet Formel $ [mm] \integral{\bruch{du}{b\cdot{}f(u)+a}}=\integral{dx}+Konstante [/mm] $
$ [mm] x=\integral{\bruch{du}{b\cdot{}f(u)+a}}+Konstante [/mm] $ nehmen willst, dann achte darauf, dass [mm] f(ax+by)=f(x+2y)=\frac{1}{x+2*y} [/mm] und damit
[mm] f(u)=\frac{1}{u} [/mm] ist.
Bei dir liegt hier der "Fehler":
[mm] u(x)\frac{u^\prime(x)-1}{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{2}\int u(x)u^\prime(x)-u(x) \mathrm [/mm] dx
Du kannst nicht einfach sofort das Integral bilden, du musst erst einmal die Variablen trennen!
[mm] u(x)\frac{u^\prime(x)-1}{2}=1 [/mm] heißt ja [mm] u(x)\frac{\frac{du}{dx}-1}{2}=1
[/mm]
Hier bringst du jetzt das u(x) und du auf die eine Seite und das dx auf die andere Seite der Gleichung:
[mm] \frac{du\cdot{}u}{u+2}=dx
[/mm]
Jetzt wird auf beiden Seiten integriert, und zwar über u auf der linken und über x auf der rechten Seite.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Sa 19.04.2008 | | Autor: | sean |
Ok, vielen Dank!
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