y''+5y'=x+e^(-5x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Sa 20.10.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm] y''+5y'=x+e^{-5x}
[/mm]
Lösungen der homogenen: [mm] e^{0x} [/mm] = 1 und [mm] e^{-5x}
[/mm]
Spezielle Lösung der inhomogenen [mm] y''+5y'=e^{-5x} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{-5} xe^{-5x}
[/mm]
soweit ok,
jetzt bräuchte ich noch eine Lösung der inhomogenen der Form y''+5y'= x
und dann könnte ich alle Lösungen zur allgemeinen Lösung addieren,
aber ich weiß nicht wie ich die spezielle Lösung von y''+5y'= x berechnen kann es gelingt mir weder durch den Differentialoperator noch durch den Ansatz [mm] Cxe^{0x} [/mm]
vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 20.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo vivo,
> [mm]y''+5y'=x+e^{-5x}[/mm]
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> Lösungen der homogenen: [mm]e^{0x}[/mm] = 1 und [mm]e^{-5x}[/mm]
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> Spezielle Lösung der inhomogenen [mm]y''+5y'=e^{-5x}[/mm] ist [mm]\bruch{1}{-5} xe^{-5x}[/mm]
>
> soweit ok,
>
> jetzt bräuchte ich noch eine Lösung der inhomogenen der Form y''+5y'= x
>
> und dann könnte ich alle Lösungen zur allgemeinen Lösung addieren,
>
> aber ich weiß nicht wie ich die spezielle Lösung von
> y''+5y'= x berechnen kann es gelingt mir weder durch den
> Differentialoperator noch durch den Ansatz [mm]Cxe^{0x}[/mm]
Ich würde die DGL einmal integrieren:
[mm]y'+5y = \bruch{1}{2}x^2 - \bruch{1}{5}\mathrm{e}^{-5x}[/mm] + C
Die spezielle Lösung für den zweiten Term der Inhomogenität hast du ja schon bestimmt. Für den ersten kannst du entweder die Methode der Variation der Konstanten verwenden, also [mm]y=K(x)e^{-5x}[/mm] ansetzen und [mm]K(x)[/mm] bestimmen, oder aber einen Ansatz mit einem Polynom [mm]y=ax^2+bx+c[/mm] machen.
Viele Grüße
Rainer
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