x wird gesucht < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in [/mm] [0,1] gilt:
|cos(x)-1+x²/2| < [mm] 10^{-4} [/mm] |
meine frage: wie gehe ich an diese aufgabe ran??
ich kann die grade nicht so richtig einordnen in unser thema (taylorreihen, konvergenz von integralen und reihen)...
ich habe schon ein bisschen hin und hergerechnet, aber dadurch komme ich keinen schritt weiter.
habe ich da in der vorlesung was verpasst? oder in welches thema muss ich das einordnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ok schonmal danke... jetzt weiß ich schonmal was die aufgabe auf dem übungszettel zu suchen hat :)
aber was ist denn hier mein entwicklungspunkt? und muss ich nur cos(x) als taylor-reihe reinschreiben oder auch x²?
und wieviele sind "die ersten glieder" ? die vierte ableitung ist ja wieder cos(x), reichen dann die ersten vier?
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> ok schonmal danke... jetzt weiß ich schonmal was die
> aufgabe auf dem übungszettel zu suchen hat :)
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> aber was ist denn hier mein entwicklungspunkt? und muss ich
> nur cos(x) als taylor-reihe reinschreiben oder auch x²?
> und wieviele sind "die ersten glieder" ? die vierte
> ableitung ist ja wieder cos(x), reichen dann die ersten
> vier?
[mm] $1-\frac{x^2}{2}$ [/mm] ist das Taylorpolynom vom 2. Grad von [mm] $\cos(x)$ [/mm] bei Entwicklung um $x=0$. Der Term, dessen Betrag Du abschätzen sollst, ist somit gerade der Betrag der Differenz von [mm] $\cos(x)$ [/mm] und diesem Taylorpolynom [mm] $1-\frac{x^2}{2}$.
[/mm]
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ok, also muss ich als entwicklungspunkt x=0 wählen?!
dann bleibt ja noch der betrag vom Restterm übrig, der kleiner als die [mm] 10^{-4} [/mm] sein muss:
cos(x)=1+0-1/2x²+Restterm
in die ungleichung eingesetzt: [mm] |Restterm|<10^{-4}
[/mm]
Restterm ist in der lagrangschen form: [mm] \bruch{sin(p)}{6} \*x^{3}
[/mm]
wobei p zwischen x und a liegt...
| [mm] \bruch{sin(p)}{6} \*x^{3}|<10^{-4}
[/mm]
wenn ich das jetzt umforme hab ich schließlich stehen:
|x|< [mm] \wurzel[3]{\bruch{10^{-4} \* 6}{sin(p)}}
[/mm]
und da p zwischen x und a, also zwischen 0 und 1 liegt, muss ich den wert einsetzen, für den der term auf der rechten seite der ungleichung am kleinsten wird, damit x egal für welches p immer kleiner ist als diese rechte seite...
ist das so zumindest teilweise richtig ?! habs ein paar mal mit dem taschenrechner überprüft, aber irgendwie passt das nicht :(
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> ok, also muss ich als entwicklungspunkt x=0 wählen?!
> dann bleibt ja noch der betrag vom Restterm übrig, der
> kleiner als die [mm]10^{-4}[/mm] sein muss:
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> cos(x)=1+0-1/2x²+Restterm
> in die ungleichung eingesetzt: [mm]|Restterm|<10^{-4}[/mm]
>
> Restterm ist in der lagrangschen form: [mm]\bruch{sin(p)}{6} \*x^{3}[/mm]
>
> wobei p zwischen x und a liegt...
> | [mm]\bruch{sin(p)}{6} \*x^{3}|<10^{-4}[/mm]
> wenn ich das jetzt
> umforme hab ich schließlich stehen:
> |x|< [mm]\wurzel[3]{\bruch{10^{-4} \* 6}{sin(p)}}[/mm]
> und da p
> zwischen x und a, also zwischen 0 und 1 liegt, muss ich den
> wert einsetzen, für den der term auf der rechten seite der
> ungleichung am kleinsten wird, damit x egal für welches p
> immer kleiner ist als diese rechte seite...
> ist das so zumindest teilweise richtig ?!
Teilweise ja. Da aber, wie Du selbst schreibst, $0< p< x$ ist, kannst Du, wegen [mm] $0\leq \sin(p) \leq [/mm] p$ im Bereich $[0;1]$, eine weitere Abschätzung so einschieben:
[mm]\big|\bruch{sin(p)}{6} \*x^{3}\big|\leq \bruch{x^4}{6} < 10^{-4}[/mm]
> habs ein paar
> mal mit dem taschenrechner überprüft, aber irgendwie passt
> das nicht :(
Eine solche Abschätzung mit Hilfe des Lagrangeschen Restglieds muss natürlich nicht direkt von begeisternd grosser Qualität sein - aber sie sollte immerhin richtig sein...
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ok.. das kommt der taschenrechner-lösung schonmal deutlich näher, aber was ich noch nicht verstehe:
[mm] \big|\bruch{sin(p)}{6} *x^{3}\big|\leq \bruch{x^4}{6} [/mm]
du schätzt also sin(p) nach oben ab und sagst, dass sin(p) maximal den wert x erreicht?!
aber das p in der lagrangschen form ist doch p<x und sin(p) wird auf [0,1] maximal 0,841... also jedenfalls kleiner als p und dann kann ich ja nur noch sagen:
[mm] \big|\bruch{sin(p)}{6} \cdot{}x^{3}\big|< \bruch{x^4}{6}
[/mm]
aber dann lässt sich das nicht mehr so schön dazwischenschieben..
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> ok.. das kommt der taschenrechner-lösung schonmal deutlich
> näher, aber was ich noch nicht verstehe:
> [mm]\big|\bruch{sin(p)}{6} *x^{3}\big|\leq \bruch{x^4}{6}[/mm]
> du schätzt also sin(p) nach oben ab und sagst, dass sin(p)
> maximal den wert x erreicht?!
> aber das p in der lagrangschen form ist doch p<x und
> sin(p) wird auf [0,1] maximal 0,841... also jedenfalls
> kleiner als p und dann kann ich ja nur noch sagen:
>
> [mm]\big|\bruch{sin(p)}{6} \cdot{}x^{3}\big|< \bruch{x^4}{6}[/mm]
>
> aber dann lässt sich das nicht mehr so schön
> dazwischenschieben..
Ich denke, Du suchst zu weit: es ist wirklich nur eine einfache Kombination von Ungleichungen, die Du vornehmen musst: Wir wissen, dass [mm] $0\leq p\leq [/mm] x$ ist und dass [mm] $p\in[0;1]$ [/mm] liegt. Also gilt auch [mm] $0\leq \sin(p)\leq [/mm] p$. Kombination dieser beiden Ungleichungen mittels "Transitivität von [mm] $\leq$" [/mm] ergibt, dass [mm] $0\leq\sin(p)\leq [/mm] x$ ist und daher darf man eben in der fraglichen Ungleichung nicht nur die Betragszeichen wegslassen, sondern zwecks Abschätzung von oben auch [mm] $\sin(p)$ [/mm] durch $x$ ersetzen.
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na gut, hast mich überzeugt ;)
und vielen dank für die hilfe!
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Taylor-Reihe