x^2, x^3, x^4, x^5 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 19.03.2006 | | Autor: | engel |
[mm] x^2 [/mm] = Parabel
[mm] x^3 [/mm] = kubische Parabel
[mm] x^4 [/mm] = ?
Ich soll beschreiben wie sich die Kurven verändern, von [mm] x^2 [/mm] bis [mm] x^9, [/mm] aber ich habe leider null Ahnung wie ich das machen soll... Weil allein der Unterschied zw [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] ist doch fast was ganz anderes!
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Hallo!
> [mm]x^2[/mm] = Parabel
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> [mm]x^3[/mm] = kubische Parabel
>
> [mm]x^4[/mm] = ?
Ich glaube, einen Namen gibt es dafür nicht mehr...
> Ich soll beschreiben wie sich die Kurven verändern, von [mm]x^2[/mm]
> bis [mm]x^9,[/mm] aber ich habe leider null Ahnung wie ich das
> machen soll... Weil allein der Unterschied zw [mm]x^2[/mm] und [mm]x^3[/mm]
> ist doch fast was ganz anderes!
Naja, also alle [mm] x^{2n} [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] (also Funktionen mit geradem Exponenten) sind von [mm] -\infty [/mm] bis 0 monoton fallend und von 0 bis [mm] \infty [/mm] monoton wachsend. Außerdem werden sie mit zunehmendem Exponenten immer steiler.
Funktionen wie [mm] x^{2n+1} [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] (also mit ungeradem Exponenten) sind überall monton wachsend.
Ach ja, zeichne sie doch einfach mal, vielleicht fällt dir dann noch mehr auf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 19.03.2006 | | Autor: | engel |
bei x^2n+1, kann man da irgendwas dazu sagen, dass sie vielleicht immer enger oder immer weiter wird? ich weiß nicht...
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Hallo nochmal!
> bei x^2n+1, kann man da irgendwas dazu sagen, dass sie
> vielleicht immer enger oder immer weiter wird? ich weiß
> nicht...
Ja, sie werden auch immer schmaler. Sieh sie dir doch mal genau an. Außerdem kann man sich das auch gut vorstellen, denn 5 ist ja beispielsweise mehr als 3, also ist auch [mm] x^5 [/mm] mehr (also >) als [mm] x^3 [/mm] und somit gilt für ein beliebiges x, dass auch [mm] |x^5|>|x^3| [/mm] ist, womit dann [mm] x^5 [/mm] gestreckter, also schmaler wird als [mm] x^3.
[/mm]
Zu erwähnen wäre noch, dass das Ganze zwischen -1 und 1 genau anders herum gilt, denn für [mm] n\in[-1;1] [/mm] gilt: [mm] |x^n|>|x^{n+2}|.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 19.03.2006 | | Autor: | engel |
das heißt also:
x^2n+1 wird mit zunehmendem Exponenten schmaler.
Zwischen -1 und 1 werden sie dann breiter oder wie?
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> das heißt also:
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> x^2n+1 wird mit zunehmendem Exponenten schmaler.
>
> Zwischen -1 und 1 werden sie dann breiter oder wie?
genau, denn wenn -1 < x < 1 ist, werden die Werte für [mm] x^3 [/mm] größer sein, als die für [mm] x^5.
[/mm]
Wenn du nämlich eine Zahl, deren Betrag < 0 ist mit sich selbst multiplizierst wird der Betrag des Ergebnises kleiner, je öfter du dies durchführst.
Umgekehrt verhält es sich, wie schon gesagt bei |x| > 1
Auch noch wichtig ist wohl die Gemeinsamkeit, dass alle Graphen $ [mm] x^n, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $ also alle Funktionen genannter Form (sowohl mit ungeradem, als auch geradem Exponenten) durch die Punkte (0/0) und (1/1).
Alle Funktionen mit geradem Exponenten gehen außerdem durch den Punkt (-1/1) und alle mit ungeradem Exponenten durch (-1/-1).
Je höher der Exponent, desto "schneller" strebt der Graph gegen seine Grenzen (bei geradem Exp.: $ x --> [mm] \pm \infty \Rightarrow [/mm] f(x) --> + [mm] \infty [/mm] $, bei ungeradem Exp.: $ x --> + [mm] \infty \Rightarrow [/mm] f(x) --> + [mm] \infty [/mm] $, $ x --> - [mm] \infty \Rightarrow [/mm] f(x) --> - [mm] \infty [/mm] $ )
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