x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 05.06.2014 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Finden Sie alle Lösungen in den Restklassen modulo 35
[mm] x^2 [/mm] − 1 ≡ 0 (mod 35) |
Hey!
Erstmal habe ich die Gleichung umgeformt zu
[mm] x^2 [/mm] ≡ 36 (mod 35) <-> x ≡ 6 (mod 35) führt.
Eine Lösung ist demnach 6.
Probe: [mm] 6^2-1 [/mm] ≡ 0 (mod 35) stimmt.
Aber wie komme ich an alle Lösungen?
zB habe ich durch ausprobieren noch die 1 gefunden.
Demnach hätte ich schon mal 2 Lösungen (6 und 1).
Aber gibt es mehr? Wenn ja, wie bestimme ich diese?
|
|
| |
|
Hallo,
> Finden Sie alle Lösungen in den Restklassen modulo 35
> [mm]x^2[/mm] − 1 ≡ 0 (mod 35)
> Hey!
>
> Erstmal habe ich die Gleichung umgeformt zu
>
> [mm]x^2[/mm] ≡ 36 (mod 35) <-> x ≡ 6 (mod 35) führt.
> Eine Lösung ist demnach 6.
>
> Probe: [mm]6^2-1[/mm] ≡ 0 (mod 35) stimmt.
>
> Aber wie komme ich an alle Lösungen?
> zB habe ich durch ausprobieren noch die 1 gefunden.
>
> Demnach hätte ich schon mal 2 Lösungen (6 und 1).
> Aber gibt es mehr? Wenn ja, wie bestimme ich diese?
>
Ja, es gibt noch mehr. Und es bietet sich eine Faktorisierung nach Francessco von Binomi dem III. an, um selbige zu finden. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 05.06.2014 | | Autor: | low_head |
Die dritte binomische Formel.
(x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)
Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1 (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35) auch Lösungen sind.
Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
Hab ich nun alle?
|
|
|
| |
|
Hallo low_head,
> Die dritte binomische Formel.
>
> (x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)
>
> Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1
> (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35) auch Lösungen sind.
>
> Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
> Hab ich nun alle?
>
Nein, es fehlt noch eine.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 05.06.2014 | | Autor: | low_head |
>
>
> Nein, es fehlt noch eine.
>
>
Was übersehe ich denn?
Irgendwie steh ich aufem Schlauch.
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> >
> >
> > Nein, es fehlt noch eine.
> >
> >
>
> Was übersehe ich denn?
Symmetrieffekte...
Wie liegen denn die Lösungen x=1 und x=34 in der Restklasse? Welche weitere Lösung könnte man dann aus x=6 noch vermuten...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 05.06.2014 | | Autor: | low_head |
Vielen Dank nun ist es klar geworden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Do 05.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Die dritte binomische Formel.
>
> (x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)
>
> Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1
> (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35) auch Lösungen sind.
>
> Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
> Hab ich nun alle?
Hallo,
ich übersetze mal aus der Sprache der Kongruenzen in normales Deutsch:
(x-1)(x+1) ist durch 35 teilbar.
Das ist folgendermaßen möglich:
(x-1) ist durch 35 teilbar.
(x+1) ist durch 35 teilbar.
(x+1) ist durch 5 teilbar und (x-1) ist durch 7 teilbar.
(x+1) ist durch 7 teilbar und (x-1) ist durch 5 teilbar.
Gruß Abakus
>
|
|
|
|
