x+sin(x) streng monoton? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 13.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion $ f(x)=x+sin(x) $ streng monoton auf $ [mm] \IR [/mm] $ ist. |
$ f(x)=x+sin(x) $ habe ich abgeleitet...
$ [mm] f'(x)=1+cos(x)\ge0 [/mm] $
Jetzt weis ich, dass für $ f'(x)>0 $ die Funktion streng monoton wachsend ist...
Dort wo die $ f'(x)=0 $ (bei $ [mm] x=\pi+k*2\pi [/mm] $) ist, habe ich doch nur Sattelpunkte oder?
Wenn ich mir den Graph zu $ f(x) $ und $ f'(x) $ aufzeichne, sehe ich auch, dass die Funktion streng monoton wachsend auf ganz $ [mm] \IR [/mm] $ist.
In unserem Skript steht jedoch nur, dass $ f(x) $streng monton wachsend ist für $ f'(x)>0 $...
Muss ich die Stellen wo $ f'(x)=0 $ist gesondert behandeln?
Danke und Gruß,
tedd 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 13.01.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das ist richtig, du hast an den Stellen Sattelpunkte, d.h. an den Stellen ist die Steigung 0. Das macht aber nichts, denn es findet sich immer eine Umgebung einer solchen Sattelstelle, in der die Ableitung sonst größer als 0 ist.
Anders ausgedrückt wird die Steigung der Funktion nur an den von dir genannten Stellen 0, aber nicht in der jeweiligen Umgebung. Somit ist f ja streng monoton wachsend...
LG djmatey
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