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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Die Funktion f sei in der offenen Menge [mm] U\subset\IC [/mm] holomorph bis auf den Punkt [mm]a\in U[/mm]. Zeige: wenn a keine hebbare Singularität für f ist, hat [mm] \exp(f) [/mm] in a eine wesentliche Singularität. |
Hallo zusammen!
Ich habe hier mal wieder einen Beweis mit Musterlösung, den ich nicht verstehe...
Hier erstmal der Beweis, ich nummeriere die einzelnen Schritte auch mal wieder durch.
Beweis
1) a keine hebbare Singularität von f
2) [mm] \Rightarrow [/mm] a Pol oder wesentliche Singularität von f
3) [mm] \Rightarrow [/mm] (*) a Pol der Ordnung [mm] \ge2 [/mm] oder wesentliche Singularität von f'
4) Annahme: [mm] g=\exp(f) [/mm] ist nach a holomorph fortsetzbar oder hat Pol in a.
5) [mm] \Rightarrow \bruch{d}{dz}log(g)= \bruch{d}{dz}log(\exp(f))=\bruch{g'}{g}=f'
[/mm]
6) [mm] \bruch{g'}{g} [/mm] ist nach a holomorph fortsetzbar oder hat Pol der Ordnung 1 in a
7) Widerspruch zu (*)
Fragen
zu 1)
Klar, ist ja in der Aufgabenstellung vorgegeben.
zu 2)
Auch klar. Eine isolierte Singularität ist entweder eine hebbare Singularität, ein Pol, oder eine wesentliche Singularität. Da a nach 1) keine hebbare Singularität, muss a eine wesentliche Singularität oder ein Pol sein.
zu 3)
Das verstehe ich nicht. Warum muss a, wenn es ein Pol ist, ein Pol der Ordnung [mm] \ge2 [/mm] sein? Bzw. wenn a eine wesentliche Singularität von f ist, warum folgt dann, dass a auch eine wesentliche Singularität von f' ist?
zu 4)
Warum nehme ich jetzt an, dass [mm] g=\exp(f) [/mm] in a holomorph fortsetzbar ist oder das a ein Pol ist? Um in a holomorph fortsetzbar zu sein, muss a dafür wesentliche Singularität sein? Warum kann nicht holomorph fortgesetzt werden, wenn a Pol ist (weil oder )?
zu 5)
Ich denke, die Rechnung ist mir klar. [mm] \bruch{d}{dz}log(g)=\bruch{g'}{g}, [/mm] im Zähler die innere Ableitung, und im Nenner die abzuleitenden Funktion. [mm] \bruch{d}{dz}log(\exp(f))=f' [/mm] auch klar, da [mm] \log [/mm] und [mm]\ e [/mm] sich aufheben, es bleibt nur [mm]\ f [/mm] und die Ableitung davon ist [mm]\ f' [/mm].
zu 6)
Diese Folgerung verstehe ich nicht.
zu 7)
Ok, wenn a ein Pol der Ordnung 1 ist, dann ist das ein Widerspruch zu (*) , dass a ein Pol der Ordnung [mm] \ge2 [/mm] sein soll. Damit bleibt ja dann nur noch, dass a holomorph fortsetzbar ist. Was aber hat das mit einer wesentlichen Singularität zu tun?
Vielen Dank schonmal!
LG, Nadine
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zu 3)
Es geht um f'! Wenn differenziert wird erhöht sich die Ordnung eines Pols um eins, wenn die Originalfunktion also einen Pol hatte (mindestens Ordnung 1) hat die Ableitung einen Pol der Ordnung 2.
Eine wesentliche Sigularität hat unendliche viele von 0 verschiedene negative Koeffizienten in der Laurentreihe, durch differenzieren "verschieben" sich diese Koeffizienten im wesentlichen ja nur, also hat die Ableitung immer noch unendlich viele von 0 verschiedene negative Koeffizienten in der Laurentreihe, bleibt also wesentlich.
zu 4)
Wir führen einen Widerspruchsbeweis, also nehmen wir das an, was wir nicht behaupten, also das a keine wesentliche Singularität von g ist, also hebbar oder Pol.
zu 5)
Du hast das richtig beschrieben, die Technik [mm]\log (f)[/mm] zu differenzieren heißt logarithmische Ableitung und wird in der Funktionentheorie häufiger angewandt, insbesondere weil dadurch Produkte in Summen verwandelt werden.
zu 6)
Wenn g in a einen Pol der Ordnung k hat so gilt [mm](z-a)^k*g(z)=h(z)[/mm] ist hebbar und [mm]h(a)\neq 0[/mm] nach der Fortsetzung. Also gilt [mm]\frac{h(z)}{(z-a)^k}=g(z)[/mm], differenzieren ergibt: [mm]g'(z) = \frac{(z-a)^k h'(z) - h(z) k(z-a)^{k-1}}{(z-a)^{2k}} = \frac{(z-a)h'(z) - k*h(z)}{(z-a)^{k+1}}[/mm] Setzt man a in den Zähler ein wird der vordere Term 0, der hintere ist nach Voraussetzung ungleich 0, also hat g' einen Pol der Ordnung k+1 (und ganz nebenbei hab ich meine Aussage von vorhin bewiesen). Wir müssen nun [mm]\frac{g'}{g}[/mm] betrachten, die Terme von eben eingesetzt ergibt sich [mm]\frac{*}{z-a}[/mm], wobei [mm]*[/mm] in a holomorph fortsetzbar ist, also hat [mm]\frac{g'}{g}[/mm] entweder eine hebbare Singularität oder einen Pol erster Ordnung.
zu 7)
Wir haben gezeigt, dass unter der Annahme 4 [mm]\frac{g'}{g}[/mm] in a einen Pol erster Ordnung hat oder hebbar ist. Vorhin haben wir gesehen, dass [mm]f'[/mm] einen Pol zweiter Ordnung hat oder eine wesentliche Singularität, weiter haben wir gesehen, dass [mm]\frac{g'}{g}=f'[/mm] gilt. Das alles zusammen ist aber eine falsche Aussage, folglich konnte unsere Annahme nicht stimmen (alles andere folgt aus den Voraussetzungen), damit gilt also das Gegenteil der Aussage (Tertium non datur), also hat g eine wesentliche Singularität in a. Kästchen.
Tipp: Schau dir die Beweistechnik des Widerspruchsbeweises nochmal genauer an, ich glaube da war der Haken.
Gruß
Sophie
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