vollständige induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Fr 21.10.2005 | | Autor: | denwag |
hallo, würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte. ich muss diese aufgabe lösen, hab aber keine wirkliche ahnung von vollständigen induktionen, speziel auf eine solche gleichung mit so vielen variablen.
Aufgabe
[mm] \pmat{ n + 1 \\ k + 1 } [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k } [/mm]
für alle n [mm] \ge [/mm] k.
dabei ist [mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] := n! / (k! (n-k)!) mit 0! = 1.
Ich hoffe mir kann da jemand helfen.
mit freundlichem Gruß
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Hallo denwag,
> hallo, würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte. ich
> muss diese aufgabe lösen, hab aber keine wirkliche ahnung
> von vollständigen induktionen, speziel auf eine solche
> gleichung mit so vielen variablen.
>
> Aufgabe
>
> [mm]\pmat{ n + 1 \\ k + 1 }[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k }[/mm]
>
> für alle n [mm]\ge[/mm] k.
>
> dabei ist [mm]\pmat{ n \\ k }[/mm] := n! / (k! (n-k)!) mit 0! = 1.
>
> Ich hoffe mir kann da jemand helfen.
Induktionsanfang:
n=0: [mm]\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm] = [mm]\summe_{m=0}^{0} \pmat{ m \\ 0 }\;=\;\pmat{ 0 \\ 0 }\;=\;1[/mm]
Induktionsschritt:
n->n+1:
[mm]\pmat{ n + 2 \\ k + 1 }[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n+1} \pmat{ m \\ k }\;=\;\summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k }\;+\;\pmat{ n + 2 \\ k + 1 }[/mm]
Ich denke, jetzt bekommst Du den Rest voll alleine hin.
Dann fehlt natürlich noch der Induktionsschluß.
Gruß
MathePower
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:47 Do 24.11.2005 | | Autor: | BigReaper |
Hallo Mathepower,
ist folgendes wirklich korrekt?
> Induktionsschritt:
>
> n->n+1:
>
> [mm]\pmat{ n + 2 \\ k + 1 }[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n+1} \pmat{ m \\ k }\;=\;\summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k }\;+\;\pmat{ n + 2 \\ k + 1 }[/mm]
>
Verstehe nicht, wie du am Ende auf [mm]\pmat{ n + 2 \\ k + 1 }[/mm] kommst? Das steht doch auch am Anfang dieses Terms. Muss da nicht [mm]\pmat{n+1 \\ k}[/mm] stehen?
Gruß,
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Sa 22.10.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich habe die Aufgabe als Übung probiert,
habe aber leider nichts zustande bekommen.
Das liegt wahrscheinlich daran dass ich mit
Binominalkoeffizienten ausser Übung bin,
kann irgendjemand die Aufgabe wenigstens ein
Stück fortsetzen?
Vielen DAnk schon mal im voraus
MFG
kuminitu
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> Hallo,
> ich habe die Aufgabe als Übung probiert,
> habe aber leider nichts zustande bekommen.
> Das liegt wahrscheinlich daran dass ich mit
> Binominalkoeffizienten ausser Übung bin,
Hallo,
> kann irgendjemand die Aufgabe wenigstens ein
> Stück fortsetzen?
Das hat doch Mathepower schon getan!
Er schrieb
Induktionsanfang:
n=0: $ [mm] \pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] $ = $ [mm] \summe_{m=0}^{0} \pmat{ m \\ 0 }\;=\;\pmat{ 0 \\ 0 }\;=\;1 [/mm] $
Induktionsschritt:
n->n+1:
$ [mm] \summe_{m=k}^{n+1} \pmat{ m \\ k }\;=\;\summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k }\;+\;\pmat{ n + 2 \\ k + 1 } [/mm] $
Du mußt jetzt für [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m\\ k} [/mm] nur noch die Induktionsvorraussetzung einsetzen. Wenn Du Dich inzwischen ein klein wenig mit den Rechenregeln für Binominalkoeffizienten beschäftigt hast, solltest Du kein Problem mehr haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 23.10.2005 | | Autor: | kuminitu |
hallo!
Aber wie setze ich die Induktionsvoraussetzung ein?!
Das versteh ich nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 So 23.10.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
besser gesagt, ich kann mit dem Ausdruck nach dem gleichheitszeichen nichts anfangen, dass heisst wie ich die Binominalkoeefizienten mit der Summenformel anwende!:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] $ [mm] \vektor{m \\ n} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo kuminitu!
Setz' doch in angela's Term einfach mal die Induktionsvoraussetzung ein und wende anschließend die Definition des Binomialkoeffizienten ein:
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}$
[/mm]
Einsetzen:
$ [mm] \summe_{m=k}^{n+1} \pmat{ m \\ k }\;=\;\blue{\summe_{m=k}^{n} \pmat{ m \\ k }}\;+\;\pmat{ n + 2 \\ k + 1 } [/mm] \ = \ [mm] \blue{\pmat{ n + 1 \\ k + 1 }}\;+\;\pmat{ n + 2 \\ k + 1 } [/mm] \ = \ ...$
Den Ausdruck dann mal auf denselben Hauptnenner bringen und zusammenfassen.
Weiterer Tipp: $(n+1)! \ = \ n! * (n+1)$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
So weit so gut, ich hab diese Aufgabe auch zu lösen und komme nur bis:
[mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}+ \bruch{(n+2)!}{(k+1)!((n+2)-(k+1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}+ \bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k+1)!}
[/mm]
Wie finde ich einen Hauptnenner???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
Es gilt ja: $(n-k+1)! \ = \ (n-k)! * (n-k+1)$
Ist nun der Hauptnenner klar?
Ebenso solltest Du später zerlegen: $(n+2)! \ = \ (n+1)! * (n+2)$
Gruß
Loddar
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