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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Di 14.11.2006 | | Autor: | BettiBoo |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \circ [/mm] assoziative und kommutative innere Kompositon auf einer Menge M. Erkläre für x [mm] \in [/mm] M und n [mm] \in \IN [/mm] die Potenz [mm] x^n [/mm] induktiv durch $ [mm] x^1:=x [/mm] $ , [mm] x^{n+1} [/mm] := [mm] $x^n$ \circ [/mm] x. Man beweise durch vollständige Induktion: Für m, n [mm] \in \IN [/mm] ist $ [mm] (x^n)^m [/mm] $ = [mm] x^{nm}. [/mm] |
Ich muss ehrlich gestehen, weiß ich gar nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Mir wurde nur gesagt, dass die eigentliche Aufgabe ab "Man beweise..." anfängt.
Da ich ja die Aussagen $ [mm] x^1:=x [/mm] $ , [mm] x^{n+1} [/mm] := [mm] $x^n$ \circ [/mm] x für meine Induktion benutzen kann, bin ich jetzt erst mal so zu dem Entschluss gekommen, dass ich ja dann eigentlich zwei vollständige Induktionen machen muss. Also dass ich irgendwie, irgendwann [mm] $x^m$ \circ $x^n$ [/mm] = [mm] x^{m+n} [/mm] , denn warum sonst sollte ich die oben genannten Gleichungen als Hilfestellung haben. Aber genau an diesem Punkt hört es bei mir *sniff*
Vllt kann mir ja jemand helfen. Wäre ganz dolle toll.
Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]\circ[/mm] assoziative und kommutative innere Kompositon
> auf einer Menge M. Erkläre für x [mm]\in[/mm] M und n [mm]\in \IN[/mm] die
> Potenz [mm]x^n[/mm] induktiv durch [mm]x^1:=x[/mm] , [mm]x^{n+1}[/mm] := [mm]x^n[/mm] [mm]\circ[/mm] x.
> Man beweise durch vollständige Induktion: Für m, n [mm]\in \IN[/mm]
> ist [mm](x^n)^m[/mm] = [mm]x^{nm}.[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Also dass ich
> irgendwie, irgendwann [mm]x^m[/mm] [mm]\circ[/mm] [mm]x^n[/mm] = [mm]x^{m+n}[/mm]
Ja, zu diesem Entschluß bin ich auch gekommen.
1. Beweise zunächst per Induktion, daß [mm] x^{n+m}=x^n \circ x^m [/mm] gilt. (Wenn Ihr's nicht schon in der Vorlesung getan habt!)
Diesen Beweis kannst Du durch Induktion über m führen. Du behandelst das n als fest. Als beliebig, aber fest. Als stünde da: 5.
2. Wenn Du das hast, kannst Du Dich an die eigentliche Aufgabe machen, zeigen, daß [mm] (x^n)^m=x^{nm} [/mm] ist.
Auch hier wieder: Induktion über m mit festem n.
zu 1. zu zeigen [mm] x^{n+m}=x^n \circ x^m [/mm] für alle m,n [mm] \in \IN.
[/mm]
Bew. durch Induktion über m:
Sei n [mm] \in \IN.
[/mm]
I.A.: m=1
Es ist [mm] x^{n+1}=x^n \circ [/mm] x nach Def.
[mm] =x^n \circ x^1 [/mm] nach Def.
I.V. Es gelte [mm] x^{n+m}=x^n \circ x^m [/mm] für alle m,n [mm] \in \IN
[/mm]
I.S.: m ---> m+1
zu zeigen: [mm] x^{n+(m+1)}=x^n \circ x^{m+1}
[/mm]
Es ist
[mm] x^{n+(m+1)}= x^{(n+m)+1} [/mm] Rechnen mit natürlichen Zahlen
[mm] =x^{(n+m)}\circ [/mm] x nach Def.
= [mm] (x^n \circ x^m) \circ [/mm] x nach I.V.
[mm] =x^n \circ (x^m \circ [/mm] x ) [mm] \circ [/mm] ist assoziativ nach Voraussetzung
= [mm] x^n \circ x^{m+1} [/mm] nach Definition
Ich habe Dir jetzt 1. sehr genau gezeigt, in der Hoffnung, daß Du in ähnlichem Stil die 2. hinbekommst. Ganz wichtig sind die Begründungen für die einzelnen Schritte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 15.11.2006 | | Autor: | BettiBoo |
Also ich habe das jetzt versucht zu rechnen. Aber irgendwie traten bei mir einige Fragen auf... na ja ich schreib erst mal auf was ich geschrieben habe und dann an der entsprechenden Stelle dazu meine Frage
IA: für m=1, n sei gegeben und [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] $(x^{n})^{1}$ [/mm] = [mm] $x^{1n}$ [/mm] Rechnen mit n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] x^{n} [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] Nach Definition
IV: Es gelte $ [mm] (x^{n})^{m} [/mm] $ = $ [mm] x^{nm} [/mm] $
IS: m [mm] \Rightarrow [/mm] m + 1
zu zeigen: $ [mm] (x^{n})^{m+1} [/mm] $ = $ [mm] x^{n(m+1)} [/mm] $
$ [mm] (x^{n})^{m+1} [/mm] $ = $ [mm] x^{nm+n} [/mm] $ Meine Frage: Kann ich das denn einfach reinmultiplizieren?
= $ [mm] x^{nm} [/mm] $ [mm] \circ [/mm] $ [mm] x^{n} [/mm] $ nach erster Induktion
= $ [mm] x^{n} [/mm] $($ [mm] x^{m+1} [/mm] $)
= $ [mm] x^{n(m+1)} [/mm] $
Ende
Wäre das überhaupt richtig?
LG
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> IA: für m=1, n sei gegeben und [mm]\in \IN[/mm]
> [mm](x^{n})^{1}[/mm] =
> [mm]x^{1n}[/mm] Rechnen mit n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{n}[/mm]
> Nach Definition
So darfst Du das nicht machen.
Hier: [mm] (x^{n})^{1}= x^{1n}
[/mm]
benutzt Du ja genau die Regel, die Du erst beweisen willst.
Du mußt es anders begründen:
[mm] (x^{n})^{1}= x_n [/mm]
nach Rekursionsvorschrift, welche sagt [mm] x_1:=x [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M, also gilt das auch für [mm] x^n, [/mm] denn [mm] x^n \in [/mm] M. (warum?)
>
> IV: Es gelte [mm](x^{n})^{m}[/mm] = [mm]x^{nm}[/mm]
>
> IS: m [mm]\Rightarrow[/mm] m + 1
> zu zeigen: [mm](x^{n})^{m+1}[/mm] = [mm]x^{n(m+1)}[/mm]
>
> [mm](x^{n})^{m+1}[/mm] = [mm]x^{nm+n}[/mm] Meine Frage: Kann ich das
> denn einfach reinmultiplizieren?
Deine Zweifel sind begründet, gut, daß Du sie hast!
Nein, so geht das nicht. Dieses Multiplizierenist ja wieder die Verwendung der Eigenschaft, die Du erst beweisen willst.
[mm] (x^{n})^{m+1}=(x^{n})^m \circ x^n [/mm] (nach Rekursionsvorschrift $ [mm] x^{n+1} [/mm] $ := $ [mm] x^n [/mm] $ $ [mm] \circ [/mm] $ x, welche für alle x [mm] \in [/mm] M gilt, also auch für [mm] x^n)
[/mm]
> = [mm]x^{nm}[/mm] [mm]\circ[/mm] [mm]x^{n}[/mm] nach Induktionsvoraussetzung
[mm] =x^{nm+n} [/mm] (das hatten wir vorbereitend bewiesen:$ [mm] x^m [/mm] $ $ [mm] \circ [/mm] $ $ [mm] x^n [/mm] $ = $ [mm] x^{m+n} [/mm] $ für alle m,n )
[mm] =x^{n(m+1)} [/mm]
Man muß gerade bei diesen recht einfachen und aus dem normalen Rechnen sehr vertrauten Sächelchen gut aufpassen, daß man nichts Unerlaubtes verwendet.
Gruß v. Angela
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