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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 21.08.2008 | | Autor: | as77 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion:
[mm] n^2 [/mm] > n+1 |
Hallo
ich habe diese Aufgabe mit folgendem Ansatz gelöst:
[mm] n^2 [/mm] + n+1 > n+1 + n+1
[mm] 2n^2 [/mm] +1 > 2n+2 | * 2
[mm] n^2 [/mm] +1 > n+2 | - 1
[mm] n^2 [/mm] > n+2 ???
Ist das vom Ansatz her richtig oder liege ich falsch???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Do 21.08.2008 | | Autor: | as77 |
Das soll im zweiten Schritt natürlich / 2 heißen und nicht * 2.
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Hallo as77!
> Beweisen Sie die folgende Aufgabe mittels vollständiger
> Induktion:
> [mm]n^2[/mm] > n+1
Was hat diese Aufgabe denn mit Stochastik zu tun?
Abgesehen davon stimmt die Aussage noch nicht mal, denn sowohl [mm] 0^2<0+1 [/mm] als auch [mm] 1^2<1+1... [/mm] Vielleicht korrigierst du mal deine Aufgabenstellung!
> Hallo
>
> ich habe diese Aufgabe mit folgendem Ansatz gelöst:
>
> [mm]n^2[/mm] + n+1 > n+1 + n+1
> [mm]2n^2[/mm] +1 > 2n+2 | * 2
Was hast du denn hier gemacht? Wo kommen auf einmal [mm] 2n^2 [/mm] her? Die sehe ich nicht. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Ist das vom Ansatz her richtig oder liege ich falsch???
Also der Ansatz kann ja schon mal nicht stimmen, wenn da was von Induktion steht, du aber nichts von Induktionsanfang, -voraussetzung und -schritt schreibst. Wenn du den Induktionsanfang mal versucht hättest, hättest du festgestellt, dass die Aufgabenstellung so schon nicht stimmen kann.
Und bist du sicher, dass du das Prinzip der Induktion verstanden hast? Ansonsten guck dir dazu vielleicht mal die ein oder andere Aufgabe an, sonst wird es schwierig, dir das hier zu erklären...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Do 21.08.2008 | | Autor: | as77 |
Hallo,
die Aufgabenstellung heißt: [mm] n^2 [/mm] > n+1 für alle n >= 2.
Für n=2 daher: [mm] 2^2 [/mm] > 2+1 (4 > 3 ) was richtig ist.
Ich muss jetzt nur noch den Induktionsschluss für n+1 zeigen.
Daher meine Frage ob ich richtig liege oder nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 21.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo as77!
Abgesehen von (bzw. ergänzend zu) Bastiane's Erläuterungen musst du im Induktionsschritt die Behauptung für $n+1_$ zeigen.
Das heißt, Du musst zeigen: [mm] $$(n+1)^2 [/mm] \ > \ n+1+1 \ = \ n+2$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 21.08.2008 | | Autor: | as77 |
Da stehen jetzt auf der rechten Seite zwei mögliche Folgerungen für n+1.
[mm] (n+1)^2 [/mm] ist ja dann logisch aber auf der rechten Seite weiß ich nicht, welcher jetzt richtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Do 21.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo as77!
Auf der rechten Seite der Ungleichung steht doch dasselbe; da wurde lediglich $n+1+1_$ zusammengefasst.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Do 21.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
der Induktionsanfang muss bei n=2 erfolgen. Dann gilt nämlich 4>3.
Du musst doch erst den Induktionsanfang beweisen, dann von n nach n+1 übergehen. Dann steht da ja [mm] $(n+1)^2=n^2+2n+1$.
[/mm]
Dann hsat du ja die Induktionsvorraussetzung [mm] $n^2>n+1$, [/mm] was du dann in die obige Ungleichung einsetzten kannst.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 22.08.2008 | | Autor: | as77 |
Hallo,
ich habe jetzt in einem Skript der Professorin die Müsterlösung gefunden.
Sie führt den Beweis wie folgt:
Für den Induktionsschluss A(n+1) folgt:
[mm] n^2 [/mm] +2n+1 > (n+1)+2n+1
> (n+1) + 5 | woher kommen diese 5???
> n+2
Wobei mir bei diesem Beweis nicht klar ist, woher sie die 5 nimmt und hinterher wieder abzieht???
Ich studiere übrigens an einer Fernuni, daher gib es kaum Chancen in der
Vorlesung nachzufragen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Hallo,
>
> ich habe jetzt in einem Skript der Professorin die
> Müsterlösung gefunden.
>
> Sie führt den Beweis wie folgt:
>
> Für den Induktionsschluss A(n+1) folgt:
>
> [mm]n^2[/mm] +2n+1 > (n+1)+2n+1
Wie das bis hier geht ist dir klar?
Nun, jetzt schätzt die Professorin 2n+1 ab: Da man das ja jetzt für alle n>2 anguckt, gilt die Ungleichung offensichtlich: 2n+1>5, denn für n=2 ist es gleich 5, für alle n größer als 2 gilt die Ungleichung.
Dann setzt man für die 2n+1 eben die 5 ein, weil man das so abgeschätzt hat, und dann kommt man zu der Aussage
[mm] $(n+1)^2>(n+1)+5$, [/mm] und dass das offensichtlich größer ist als n+2, was du ja eigentlich zeigen solltes,t ist ja auch klar:
n+1+5>n+2
Und wenn man sich dann die Ungleichungskette anguckt, und die zwischenschritte weglässt, steht dann da:
[mm] $(n+1)^2>n+2$,genau [/mm] das, was man zeigen wollte.
LG
Kroni
>
> > (n+1) + 5 | woher kommen diese 5???
> > n+2
>
> Wobei mir bei diesem Beweis nicht klar ist, woher sie die 5
> nimmt und hinterher wieder abzieht???
>
> Ich studiere übrigens an einer Fernuni, daher gib es kaum
> Chancen in der
> Vorlesung nachzufragen :(
>
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