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Ich muss die Gleichung:
[mm] \log(1+x)= \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\bruch{x^k}{k}
[/mm]
beweisen.
Da ich bei Induktionen nicht so gut bin, wollte ich euch fragen, ob ihr mir helfen könntet.
Die linke Seite kann man z.B. umformen in [mm] \bruch{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{(1+x)^n*\ln(10)}. [/mm] Jetzt müsste ich ja nur noch die rechte Seite so umformen, das dort ebenfalls das gleiche steht, aber wie?
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Hallo Sternchen,
ich weiß nicht was ihr zum Beweis verwenden dürft:
> Ich muss die Gleichung:
> [mm]\log(1+x)= \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\bruch{x^k}{k}[/mm]
> beweisen.
Das ist die Tylorreihenentwicklung des ln, also [mm] log_{e}, [/mm] und gilt auch nur mit dem Konvergenzradius 1. Allgemein gilt:
[mm]f(x) = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\partial}{\partial x^{k}}f(x_0)\bruch{(x-x_0)^k}{k!}[/mm]
Kann man auch mit Induktion beweisen...
Hier würde ich aber vorschlagen, Du belässt es dabei
[mm] \bruch{\partial}{\partial x^{k}}ln(1+x) [/mm] = [mm] (-1)^{k-1}(1+x)^{-k}(k-1)!
[/mm]
induktiv zu beweisen.
Im Klartext: Du musst f(x) = ln(1+x) ableiten, und zwar k mal:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{-1}{(1+x)^{2}}
[/mm]
f'''(x) = [mm] \bruch{-1*-2}{(1+x)^{3}}
[/mm]
f''''(x) = [mm] \bruch{-1*-2*-3}{(1+x)^{4}}
[/mm]
usw.
Wenn Du da dann x=0 einsetzt und das Ergebis in die allg. Taylorformel, hast Du's schon,
Gruß, Richard
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