www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Induktionsbeweise" - vollständige Induktion
vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

Aufgabe
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2, gilt
[mm] \summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)} [/mm]

Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
Wie stelle ich den Induktionsanfang,die Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung auf?

Würde mich über Rückmeldung freuen.

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo JXner,

> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 2, gilt
> [mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm]

>

> Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
> Wie stelle ich den Induktionsanfang,die
> Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung
> auf?

>

> Würde mich über Rückmeldung freuen.

Na, der Induktionsanfang ist bei [mm]\red{n=2}[/mm]

Es ist also zu zeigen, dass [mm]\sum\limits_{j=2}^{\red 2}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}=\frac{2\cdot{}\red 2-2}{10(2\cdot{}\red 2+8)}[/mm] gilt - rechne beide Seiten einfach aus.

Im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] sei [mm]n\in \IN, n\ge 2[/mm] beliebig, aber fest gewählt und es gelte

[mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm] (Induktionsvoraussetzung)

Zu zeigen ist nun, dass unter dieser Voraussetzung die Beh. auch für [mm]\blue{n+1}[/mm] gilt, dass also

[mm]\summe_{j=2}^{\blue{n+1}} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2(\blue{n+1})-2}{10(2(\blue{n+1})+8)}[/mm] gilt.

Nimm dazu die linke Seite her und spalte die Summe in die Summe von j=2 bis j=n und den einzelnen Summanden für j=n+1 auf. Auf die Summe bis n kannst du dann die Induktionsvoraussetzung loslassen und den Rest so zusammenfassen, dass hoffentlch am Ende die zu zeigende rechte Seite mit dem n+1 dasteht ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

so in etwa oder liege ich weit daneben?

[mm] \summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> so in etwa oder liege ich weit daneben?

>

> [mm]\summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]

Da hast du die Indizes an der Summen durcheinandergehauen:

Du meinst es aber sicher richtig:

Korrekt aufgeschrieben meinte ich mit der Aufspaltung:

[mm]\sum\limits_{\red j=2}^{n+1}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)} \ = \ \left(\sum\limits_{j=2}^{\blue n}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}\right) \ + \ \frac{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]

Nun weiter ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

[mm] \bruch{2n - 2}{10(2n+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)} [/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2n+8)(2n+10)} [/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80} [/mm]
= [mm] \bruch{n - 1}{10n+40} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40} [/mm]

und nun?


Bezug
                                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> [mm]\bruch{2n - 2}{10(2n+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]


> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2n+8)(2n+10)}[/mm] [ok]

Aber vorne bitte nicht ausmultiplizieren.

Klammere [mm] $\frac{1}{2n+8}$ [/mm] aus ...

Du musst immer im Auge behalten, worauf du hinaus willst ...

> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80}[/mm]
> = [mm]\bruch{n - 1}{10n+40}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40}[/mm]

>

> und nun?

Nun erkennt man nix mehr ... Nicht blind ausmultiplizieren!

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]