vollständ.Induktion für A(n,m) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 17.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bei vollständiger Induktion beweist man meistens eine Aussage , die nur von einer natürlichen Zahl n abhängt (A(n))
Wie soll man vorgehen, wenn eine Aussage, von zwei natürlichen Zahlen abhängt ( also eine Aussage A(n,m))?
Z.B: man sollte folgende Aussage für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] zeigen:
[mm] a^{n}*a^{m}=a^{n+m} [/mm] a ist Element einer Halbgruppe mit der binären
Operation *.
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> bei vollständiger Induktion beweist man meistens eine
> Aussage , die nur von einer natürlichen Zahl n abhängt
> (A(n))
>
> Wie soll man vorgehen, wenn eine Aussage, von zwei
> natürlichen Zahlen abhängt ( also eine Aussage A(n,m))?
>
> Z.B: man sollte folgende Aussage für alle n,m [mm]\in \IN[/mm]
> zeigen:
>
> [mm]a^{n}*a^{m}=a^{n+m}[/mm] a ist Element einer Halbgruppe mit
> der binären
> Operation *.
Du machst erst Induktion nach $n$, und im Induktionsschritt machst du Induktion nach $m$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei S eine Menge und *: S x S [mm] \to [/mm] S eine binäre Operation auf S.
Für ein Element a [mm] \in [/mm] S definieren wir induktiv
[mm] a^{1}:=a, a^{n+1}:=a^{n}*a [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei (S,*) eine Halbgruppe. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] a^{n}*a^{m}=a^{n+m}. [/mm] |
Hallo Felix !
ich poste die exakte Aufgabenstellung oben.
Wenn ich erst nach n Induktion mache, dann steht
beim (IA) n=1: [mm] a^{1}*a^{m}=a^{1+m}.
[/mm]
Bei der Definition von [mm] a^{n+1} [/mm] steht jedoch [mm] a^{m}*a^{1}.
[/mm]
Wie löst man dieses Problem? Die Halbgruppe ist nicht kommutativ...
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> Sei S eine Menge und *: S x S [mm]\to[/mm] S eine binäre Operation
> auf S.
> Für ein Element a [mm]\in[/mm] S definieren wir induktiv
> [mm]a^{1}:=a, a^{n+1}:=a^{n}*a[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Sei (S,*) eine Halbgruppe. Beweisen Sie mittels
> vollständiger Induktion, dass für alle n,m [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]a^{n}*a^{m}=a^{n+m}.[/mm]
>
> ich poste die exakte Aufgabenstellung oben.
>
> Wenn ich erst nach n Induktion mache, dann steht
> beim (IA) n=1: [mm]a^{1}*a^{m}=a^{1+m}.[/mm]
> Bei der Definition von [mm]a^{n+1}[/mm] steht jedoch [mm]a^{m}*a^{1}.[/mm]
>
> Wie löst man dieses Problem? Die Halbgruppe ist nicht
> kommutativ...
Per Induktion nach $m$: zeige, dass [mm] $a^1 a^m [/mm] = [mm] a^{m+1}$ [/mm] ist. Fuer $m = 1$ ist es klar. Fuer $m > 1$ hast du $a [mm] a^{m+1} [/mm] = a [mm] (a^m [/mm] a) = (a [mm] a^m) [/mm] a$. Jetzt verwende Induktionsvoraussetzung und Definition.
LG Felix
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