vollst. induktion,falsches bsp < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir berechnen 991n² + 1 für n = 1,2,3..... und erhalten kein quadrat (...). Aber wenn wir hieraus schließen, dass es unter diesen Zahlen keine Quadrate gibt, dann irren wir. Denn es erweist sich, dass sich unter den Zahlen 991n² + 1 auch Quadrate befinden, jedoch ist die kleinse natürliche Zahl, für welche 991n² + 1 quadratisch ist sehr groß:
n = 12055735790331359447442538767 |
Ich schreibe im Moment eine Facharbeit in Mathematik über vollständige Induktion. In meiner Facharbeit würde ich gerne darauf hinweisen wie wichtig es ist BEIDE Aufgabenschritte zu erfüllen. Dieses Beispiel erscheint mir passend für einen nicht erfüllten Induktionsschritt.
mein Ansatz:
induktionsanfang:
n = 1
[mm] \wurzel [/mm] {991 x 1² + 1}
daraus kommt keine natürliche zahl, also kann es sich um kein quadrat handeln, da ja sonst eine natürliche zahl rauskommen müsste oder? muss ich noch etwas beachten?
induktionsschritt:
meien frage (sofern der induktionsanfang richtig ist, denn ich war mir nich sicher wie ich das mit dem quadrat ausdrücken sollte!):
ich muss ja auf die form [mm] \wurzel [/mm] {991(n+1)² + 1} kommen oder?aber wíe muss ich den induktionsschritt beginnen?
vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Du sagst selbst, daß [mm]991n^2+1[/mm] für gewisse [mm]n[/mm] ein Quadrat ist und gibst dafür ein Beispiel (das nachzuprüfen ich auf die Schnelle nicht imstande bin). Damit ist doch die Aussage bereits widerlegt. Einen korrekt geführten Induktionsbeweis für jene kann es daher nicht geben.
Der Witz dieser Aufgabe ist es ja gerade, daß direktes Nachrechnen für die ersten natürlichen Zahlen zu belegen scheint, daß [mm]991n^2+1[/mm] niemals ein Quadrat ist, obwohl diese Aussage falsch ist. Unendlich viele natürliche Zahlen sind eben doch ein paar mehr als die ersten 12055735790331359447442538766 natürlichen Zahlen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 29.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich find das KEIN gutes Beispiel!
Was willst du denn zeigen? Dass es Beispiele gibt, wo etwas 100 mal gut geht aber beim 101. mal nicht? Dazu brauchst du nicht erst so riesige Zahlen. Dazu reicht : alle ungeraden Zahlen sind prim: 3,5,7 Stichprobe weiter oben, 11,13,fertig.
Besseres Beispiel:
Beh: je n Punkte liegen auf einer Geraden.
Anfang, 1Pkt liegt auf einer Geraden.
sicherheitshalber noch n=2 : 2Pkt liegen auf einer Geraden
Ind. vors: n pkt liegen auf einer G,
Beh: n+1 pkt liegen auf einer G.
Beweis: Teile die n+1 Punkte in die ersten n Punkte, nach Vors. auf einer Geraden.
Lass den ersten Pkt weg: die n letzten liegen auf einer Ger.
Wenn die ersten n und die letzten n Pkt. alle auf einer Geraden liegen ist das genau eine Gerade.
Folgerung alle n+1 liegen auf einer G.
Dass der Anfang n=1 nicht das einzige ist, ist so klar, dass man es beinahe nicht sagen muss.
Dass wir durch endlich viele positive Beispiele in taeglichen Leben zu ner falschen Induktion verfuehrt werden, ist vielleicht erwaehnenswert:
Ich bin durch die Kurve schon 100 mal mit 100km/h gefahren,
Ich bin schon oft nach 5 glas Bier gefahren....
Ich bin noch nie beim Schwarzsfahren erwischt worden...
Vollst. Induktion ist "immer" ein gutes Thema fuer ne Facharbeit (Dein Lehrer, Schluss von 3 auf n!)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mo 29.01.2007 | | Autor: | crumble13 |
ich möchte doch nur zeigen, dass diese beispiel eben falsch ist, weil in diesem bsp. nicht der induktionsschritt getätigt wurde...ich möchte probleme aufzeigen in meiner facharbeit und dachte dieses beispiel wäre interessant um zu erläuter wie wichtig die beachtung der schritte ist!
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Im Gegensatz zu leduart halte ich dein Beispiel für gelungen, um den Unterschied zwischen der Induktion in den Naturwissenschaften (die dort das vielleicht am häufigsten verwendete Erkenntnisprinzip ist) und der vollständigen Induktion in der Mathematik zu demonstrieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mo 29.01.2007 | | Autor: | crumble13 |
aber danke für die beispiele
mein problem ist, dass ich nicht nur rechnen will in der facharbeit...wisst ihr vllt noch was interessantes über die vollständige induktion?
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kann mir denn jemand sagen wie ich den induktionsschritt formulieren muss? Für Reihen finde ich das einfach, aber hier weiß cih absolut nicht wie der ansatz lauten könnte
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi crumble13,
der Ansatz des Induktionsschrittes müsste lauten:
Induktionsannahme: [mm] \wurzel{991n^2+1} [/mm] ist keine natürliche Zahl.
Zu zeigen: [mm] \wurzel{991(n+1)^2+1} [/mm] ist auch keine natürliche Zahl.
Aber nur um es nochmal gesagt zu haben: Man kann den Schritt nicht zeigen, da du ja selbst ein Gegenbeispiel angegeben hast.
l G walde
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